The further theory of Francis Galton's individual difference problem. (Q1453883)

Aus einem Kollektiv mit \(N\) Elementen, das in bezug auf das Merkmal \(x\) eine gegebene Häufigkeitsverteilung \(y = N\varphi(x)\) habe, sei eine Probe von \(n\) Elementen herausgegriffen. Die Elemente der Probe seien nach ihrer Größe in bezug auf \(x\) geordnet. Das Galtonsche Problem ist dann, einen Ausdruck für die mittlere Differenz \(\chi_{n,p}\) in bezug auf \(x\) zwischen dem \(p\)-ten und \((p+1)\)-ten Element der Probe zu finden. \textit{Pearson} und \textit{Sheppard} (vgl. Biometrika l (1902), 392) erhielten folgende Lösung: Bei normaler Verteilung, d. h. \[ \alpha = \int\limits^x_{-\infty} \varphi(x)\,dx=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits^x_{-\infty} e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx \;\text{ist} \;\;\chi_{n,p}=\dfrac{\sigma\cdot n!}{(n-p)!p!} \int\limits^x_{-\infty}\alpha ^{n-p}(1-\alpha)^p\,dx. \] Verf. verallgemeinert die Aufgabe dahin, daß die mittlere Differenz zwischen dem \(p\)-ten und \(q\)-ten Element der Probe zu finden ist, und erhält die Formel: \[ \chi_{n,p,q}= \int\limits^{\infty}_{-\infty}[J_{\alpha}(n-q+1, q)J_{\alpha}(n-p+1, p)]\,dx; \] \[ \text{wobei}\;\;J_x (r, s)=\dfrac{\int\limits^x_0(1-x)^rx^{s-1}\,dx}{\int\limits^1_0(1-x)^{r-1}x^{s-1}\,dx}. \] Verf. berechnet die Momente der Häufigkeitsverteilung der Differenzen zwischen dem \(p\)-ten und \((p + 1)\)-ten Element der Probe und gibt im Falle normaler Verteilung eine Tabelle der Momente bis zur 4. Ordnung bei verschiedenem \(n\) (zwischen 3 und 1000) und \(p = 1\), \(p = 2\). Für \(n = 2\) und \(n = 3\), \(p =1\) ist die Verteilung der Differenzen von der Form \[ \dfrac{1}{\sqrt \pi}e^{-\tfrac14t^2} \;\text{bzw.} \;\;e^{-\tfrac14t^2}(a_0 +a_1t+ a_3t^3 +a_5t^5+\cdots ). \] Für höhere Werte von \(n\) wird eine Approximation der Verteilungsfunktionen mit Funktionen von der Form \(y =y_0 e^{-\tfrac12\biggl[\tfrac{(x+h)^2-h^2}{\varSigma^2}\biggr]}\) angegeben. Vgl. folgendes Referat.