On the extreme individuals and the range of samples taken from a normal population. (Q1453884)

Die Variationsbreite oder ``range'' einer Probe ist die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Element einer Probe. Die mittlere Variationsbreite \(\bar{\omega}\) bestimmt Verf. in obiger Schreibweise für das Galtonsche Problem (vgl. vorstehendes Referat) \[ \bar{\omega}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(1-(1-\alpha)^n-\alpha^n)\,dx= \sum^{n-1}_1p\chi_{n,p}. \] Die Momente lauten dann: \[ \begin{matrix} \mu_{m}= m(m-1) \displaystyle\int\limits^\infty_{-\infty}\int\limits^x_{-\infty}(1-\alpha^n_1(1-\alpha_n)^n+(\alpha _1-\alpha _n)^n)\cdot (x_1-x_n-\bar{\omega})^{m-z}dx_1dx_n\\ -(m-1)(-\bar{\omega})^m. \end{matrix} \] Verf. berechnet \(\bar{\omega}\) für verschiedene \(n\) unter der Annahme normaler Verteilung, bestimmt die mittlere Abweichung, ohne eine Verteilungsfunktion der Variationsbreite zu geben. An einigen Urnenversuchen zeigt Verf. die Verwendbarkeit seiner Ergebnisse.