The corpuscle problem. A mathematical study of a biometric problem. (Q1453885)

In einem Körper mögen kleine Kugeln verstreut liegen, und zwar möge die Verteilung dieser Korpuskeln in bezug auf Lage und Größe an allen Stellen des Körpers dieselbe sein. Aus der Verteilung, die sich in einem ebenen Schnitt des Körpers darbietet, soll auf die ``wahre'' Verteilung geschlossen werden. Die ähnlich wie bei der entsprechenden Aufgabe über die Verteilung der Sterne gebaute Integralgleichung \[ \varPhi(x)=\dfrac{x}{r_0}\int\limits^R_xF(r)\dfrac{dr}{\sqrt{r^2-x^2}} \] vermittelt den Zusammenhang zwischen der ``wahren'' Verteilung \(F(r)\,dr\) der Korpuskelradien und der scheinbaren Verteilung \(\varPhi(x)\,dx\) der scheinbaren Korpuskelradien. Die Integralgleichung wird durch Zurückführung auf eine Differentialgleichung oder nach der Momentenmethode behandelt. Die Fragestellung wird ferner auf ellipsoidische Korpuskeln ausgedehnt, und es wird das bereits erwähnte astronomische Problem gestreift. Die Frage, wann scheinbare und wahre Verteilung übereinstimmen, wird durch eine Gaußsche Verteilung beantwortet.