Grundbegriffe und Grundprobleme der Korrelationstheorie. (Q1453886)

Zunächst werden die Beziehungen zwischen dem kausalen, funktionellen und stochastischen Zusammenhang geklärt. Eine statistische Variable \(x\) ist mit einer andern \(y\) stochastisch verbunden, wenn nach Festlegung von \(y\) das \(x\) eine zufällige Variable bleibt. \(y\) ist stochastisch unabhängig von \(x\), wenn die Verteilungen von \(y\) für alle Werte von \(x\) einander gleich sind. Enger ist der Begriff des Nichtkorreliertseins: \(y\) ist korreliert mit \(x\), falls die mathematischen Erwartungen von \(y\) für verschiedene Werte von \(x\) verschieden sind. Wenn \(x\) mit \(y\) nicht korreliert ist, so ist der Korrelationskoeffizient Null, aber nicht umgekehrt. Verf. trennt streng empirische und apriorische Größen. Der Einfluß einer nichtlinearen Regression wird scharf herausgearbeitet. Bei nichtlinearer Regression folgt aus dem Verschwinden des Koeffizienten oder der Rate noch nicht, daß die Variablen unkorreliert sind. Hauptaufgabe der Statistik ist, die meistens unerkennbaren apriorischen Größen auf Grund empirischer Werte wenigstens abzuschätzen. Hierzu bildet man eine Funktion der empirischen Werte, sodaß ihre mathematische Erwartung gleich dem apriorischen Wert ist, oder sich ihm nähert. Diese präsumptiven Größen sind selbst zufällige Variable, also nicht Näherungswerte. Für die schwierige Berechnung der mathematischen Erwartung von Quotienten werden verschiedene Wege eingeleitet. So werden die mittleren Fehler der mean square contingency, des Korrelationskoeffizienten, der beiden Konstanten der Regressionsgleichung, des Korrelationsverhältnisses und der Abweichung seines Quadrates vom Quadrat des Korrelationskoeffizienten berechnet. Die apriorische mean square contingency wird durch ihren empirischen Wert überschätzt, der Korrelationskoeffizient bei normaler Korrelation durch den empirischen Wert unterschätzt, bei nicht normaler Korrelation kann auch Überschätzung eintreten. Der systematische Schätzungsfehler ist dann störend, wenn er von der Größenordnung des mittleren Fehlers ist, wie bei der mean square contingency, kleinen Werten des Koeffizienten und der Rate. Im allgemeinen kann er aber vernachlässigt werden, da er mit zunehmender Versuchszahl rasch abnimmt. Um nachzuprüfen, ob -- wie hier vorausgesetzt -- das Unabhängigkeitsgesetz während der Versuche konstant ist und die einzelnen Versuche nicht miteinander verbunden sind, wird der Divergenzkoeffizient gebildet. Wenn das Schema der nicht zurückgelegten Kugeln zutrifft, wird der systematische Schätzungsfehler und die Streuung des empirischen Korrelationskoeffizienten verkleinert, bei doppelt zurückgelegten Kugeln vergrößert. So werden die logischen Probleme der Korrelationstheorie geklärt. Darüber hinaus bietet das Buch eine Reihe schöner und neuer Ergebnisse. Besprechungen: G. Doetsch, Jahresbericht D. M. V. 35 (1926), 67-68 kursiv; E. J. Gumbel, Z. f. angew. Math. 7 (1927), 165-166; W. Lietzmann, Z. f. math. Unterricht 57 (1926), 132; L. H. Rietz, Bulletin A. M. S. 82 (1926), 561-562.