Über einen Ansatz zur numerischen Lösung von Randwertproblemen. (Q1454151)

Verf. gibt einen Weg an, um zum Zweck der Lösung des Variationsproblems \[ \textstyle\int F(x,y,y')\,dx=\text{Min.}\;\;y(0)=a_0,\;\;y(1)=a_1 \] eine ``Polygonlösung'' der Aufgabe \[ l\sum_1^n F\Big(x_\nu,y_\nu,\frac{y_\nu-y_{\nu-1}}{l}\Big)=\text{Min.}, \] also eine Lösung der Differenzengleichung \[ E_\nu(F)=l\frac{\partial F_\nu}{\partial y}+ \frac{\partial F_\nu}{\partial y'}-\frac{\partial F_{\nu+1}}{\partial y'} \;\;\bigg(\frac{\partial F_\nu}{\partial y}= \frac{\partial F}{\partial y}\Big(x_\nu,y_\nu, \frac{y_\nu-y_{\nu-1}}{l}\Big),\;\;\text{usw}.\bigg) \] zu berechnen, die der Eulerschen Differentialgleichung entspricht. Das bereits von \textit{Hadamard} (1908; F. d. M. 39, 1022 (JFM 39.1022.*)-1024) benutzte Verfahren beruht darauf, daß man von einem beliebigen Polygon \(\overset{\circ}{y}_\nu\)\,(\(\nu=1\),\dots,\(n-1\)) ausgeht und diese Werte proportional den \(E_\nu(\overset{\circ}{F})\) verbessert, d. h. proportional den Werten der linken Seite der Eulerschen Differenzengleichung, wenn man in sie das Ausgangspolygon einsetzt. Die Konvergenz des Verfahrens gegen die Lösung der Eulerschen Differenzengleichung ist leicht zu zeigen. (IV 13, IV 15.)