Die Topologie der Mannigfaltigkeiten. (Q1454233)

In diesem auf der 88. Versammlung der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte (Innsbruck, 21-27. September 1924) gehaltenen Vortrag gibt Verf. einen kurzen Abriß der Probleme, die bei einer kombinatorischen Begründung der Topologie der Mannigfaltigkeiten auftreten. Nachdem der Begriff der Mannigfaltigkeit auf mengen-theoretisch-geometrischem Wege durch Hinzunahme weiterer Forderungen (Existenz euklidischer Umgebungen, zweites Abzählbarkeitsaxiom; Heine-Borelscher Über-deckungssatz für geschlossene Mannigfaltigkeiten) zum \textit{Hausdorff}schen Axiomensystem des topologischen Raumes eingeführt ist und auf dem von \textit{Dehn} und \textit{Heegard} eingeschlagenen Wege der Zerlegung einer Mannigfaltigkeit in Elementarräume und der Abänderung einer solchen Zerlegung durch ``elementare Transformationen'' in Verbindung mit der ``Hauptvermutung'', daß jede Zerlegung einer Mannigfaltigkeit in Elementarräume durch eine endliche Folge von elementaren Transformationen in eine zu einer gegebenen anderen Zerlegung isomorphe Zerlegung übergeführt werden könne, der Übergang von der geometrischen zur kombinatorischen Behandlung geschaffen ist, gibt Verf. durch induktive Definition der kombinatorischen Begriffe ``\(n\)-dimensionaler Komplex'', ``\(n\)-dimensionale Sphäre'', ``\(n\)-dimensionaler Elementarraum'', und ``interne Transformation eines \(n\)-dimensionalen Komplexes'' (das kombinatorische Analogon der elementaren Transformation) die Grundlage für eine rein kombinatorische Behandlung der Topologie der Mannigfaltigkeiten. Verf. geht dabei näher ein auf die wichtige ungelöste Frage nach der Charakterisierung derjenigen Komplexe, die den Mannigfaltigkeiten entsprechen, und gibt dann eine Zusammenstellung von für den weiteren rein kombinatorischen Aufbau der Theorie grundlegenden Sätzen und Vermutungen. Die Arbeit schließt mit einem Hinweis auf die in der kombinatorischen Topologie übliche ``méthode mixte'' und die \textit{Weyl}sche axiomatische Methode. Ein Anhang bringt einen Beweis für die Homöomorphie von Mannigfaltigkeiten mit isomorphen Zerlegungen.