Elementare Betrachtungen über den Aufbau von Zahlverknüpfungen nach Gesetzen. (Q1454294)

Bekanntermaßen erhält man beim Ausgehen von der Addition durch die Methode des Iterierens einer Verknüpfung eine Reihe von zweigliedrigen Operationen, in der auf die Addition zunächst die Multiplikation und auf diese die Potenz \(a^b\) folgt. Hier sind aber schon bei der Potenz die üblichen Rechengesetze (assoziatives und kommutatives Gesetz) nicht mehr erfüllt (auch ist die Beziehung Multiplikation und Potenz nicht distributiv). Verf. legt sich die Frage vor, ob man nicht unter Ausschaltung des Gesichtspunktes der Iteration bei Zugrundelegung der nicht negativen, ganzen Zahlen eine Reihe von zweigliedrigen Operationen \(S_\lambda(a,b)\) \((\lambda = 1, 2, \ldots)\) folgender Art finden kann: \(S_1(a,b)\) soll die gewöhnliche Addition sein. Jede Verknüpfung soll im Bereich der Zahlen \(0, 1, 2, 3, \ldots\) eindeutig ausführbar, assoziativ und kommutativ sein. Aus \(S_\lambda (a, b) = S_\lambda(a, b')\) soll folgen \(b = b'\), falls nicht \(a\) ein Einheitselement für eine der vorausgehenden Operationen ist. Es soll ein distributives Gesetz im weiteren Sinne gelten: für \(\mu < \lambda\) ist \[ S_\lambda(a, S_\mu(b, c)) = S_{\varphi(\lambda,\mu)} (S_{\psi(\lambda,\mu)}(a,b), S_{\chi(\lambda,\mu)}(a,c)), \] wobei \(\varphi(\lambda,\mu), \psi(\lambda,\mu), \chi(\lambda,\mu)\) positive Zahlen \(\leqq \lambda\) sind, von denen mindestens eine kleiner als \(\lambda\) ist. Verf. zeigt zunächst, daß \(S_2(a,b)\) abgesehen von einem konstanten Faktor \(c\) das gewöhnliche Produkt sein muß (für \(c = 0\) haben wir einen ``trivialen'' Fall). Wählen wir \(c = 1\), also \(S_2(a, b) = ab\), so ergibt sich weiter, daß für \(S_3(a, b)\) nur solche Operationen in Betracht kommen, die nur endlich viele verschiedene Werte liefern. Fügt man also zu den anfänglichen Forderungen noch die hinzu, daß \(S_2(1, 1) = 1\) und daß jede der Operationen \(S_n\) unendlich viele verschiedene Werte liefert (den entgegengesetzten Fall bezeichnet Verf. als den der Trivialität), so ist eine Folge der verlangten Art unmöglich. (IV1.)