Neue elementare Begründung und Erweiterung der Galois'schen Theorie. (Q1454403)

Während die übliche Galoissche Theorie nach Wahl eines Grundkörpers die Permutationen sämtlicher Wurzeln einer Gleichung untersucht und sich hierdurch auf einen Normalkörper beschränkt, werden im vorliegenden Aufsatz dem Grundkörper der Reihe nach Wurzeln einer Kette irreduzibler Gleichungen adjungiert; es wird also irgendeine endliche algebraische Erweiterung des Grundkörpers vorgenommen. Infolgedessen tritt an die Stelle der Galoisschen Gruppe das Transmutationssystem oder die Mischgruppe der den Oberkörper über dem Grundkörper erzeugenden ``Dirigenten''. Die Herleitung der Sätze geschieht, ohne irgendwelche Vorkenntnisse zu erfordern, nur unter Voraussetzung des Begriffes der Irreduzibilität einer Gleichung. Sogar der Satz, daß die symmetrischen Funktionen der Gleichungswurzeln durch die Gleichungskoeffizienten ausdrückbar sind, wird als Folgerung aus der Galoisschen Theorie gewonnen. Auch der sonst zum Aufbau der Galoisschen Theorie benutzte Abelsche Fundamentalsatz, daß sich jede durch eine endliche Anzahl algebraischer Größen bewirkte Erweiterung eines Körpers mit Hilfe einer einzigen Größe, einer sogenannten primitiven Funktion, durchführen läßt, wird zur Herleitung der Hauptsätze nicht verwendet. Bei dem Transmutationssystem, d. h. denjenigen Ersetzungen der ``Dirigenten'' des untersuchten Körpers, die alle richtigen Gleichungen wieder in ebensolche überführen, ist besonders die Gruppe der automorphen Transmutationen bemerkenswert. Im Falle einer einzigen Gleichung und ihrer Wurzeln hat man es nur mit der Gruppe dieser automorphen Transmutationen zu tun. Auf dem hier eingeschlagenen Wege werden die üblichen Sätze der Galoisschen Theorie verschärft und ihre Stellung im Rahmen des verallgemeinerten Problems als Spezialfall klargelegt.