A series formula for the roots of algebraic and transcendental equations. (Q1454425)

\(z_1\), \(z_2,\dots\) seien die nach wachsenden Absolutbeträgen geordneten Wurzeln von \[ 0=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots; \] es sei also immer \(|\;z_\alpha\;|\neq|\;z_\beta\;|\) für \(\alpha\neq\beta\). Die \(r\)-te elementare symmetrische Funktion von \(z_1,\dots,z_m\) läßt sich bis auf das Vorzeichen durch die folgende Reihe ausdrücken: \[ \frac{a_{r-m}}{a_r}+\frac{a_{r+1}}{a_r}\cdot \frac{\begin{vmatrix} a_{r-m}\hfill&a_r\hfill\\ a_{r-m-1}\hfill&a_{r-1}\hfill \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_r\hfill&a_{r+1}\hfill\\ a_{r-1}\quad\,\,\hfill&a_r\hfill \end{vmatrix}}+ \frac{\begin{vmatrix} a_{r+1}\hfill&a_{r+2}\hfill\\ a_r\hfill&a_{r+1}\hfill \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_r\hfill&a_{r+1}\hfill\\ a_{r-1}\hfill&a_r\hfill \end{vmatrix}}\cdot \frac{\begin{vmatrix} a_{r-m}\hfill&a_r\hfill&a_{r+1}\hfill\\ a_{r-m-1}\hfill&a_{r-1}\hfill&a_r\hfill\\ a_{r-m-2}\hfill&a_{r-2}\hfill&a_{r-1}\hfill \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_r\hfill&a_{r+1}\hfill&a_{r+2}\hfill\\ a_{r-1}\quad\,\,\hfill&a_r\hfill&a_{r+1}\hfill\\ a_{r-2}\hfill&a_{r-1}\hfill&a_r\hfill \end{vmatrix}}+\cdots. \] Die Reihe entspringt dem Quotienten zweier unendlicher Determinanten; sie konvergiert um so besser, je kleiner \(\left|\;\dfrac{z_r}{z_{r+1}}\;\right|\) ist. Das hiermit gegebene numerische Verfahren zur Wurzelberechnung wird an einem Beispiel erläutert. (IV 2.)