Über einen Satz von A. Markoff. (Q1454427)

Die Verallgemeinerung einer \textit{Markoff}schen Fragestellung (F. d. M. 22, 284 (JFM 22.0284.*)) führt zu folgenden Ergebnissen: Es sei \(M\) eine beschränkte und abgeschlossene Punktmenge in der \(z\)-Ebene, \(z_0\) ein beliebiger Punkt in der Ebene; dann existiert für die Gesamtheit der Polynome \(f(z)\) eines festen Grades \(n\), die auf \(M\) der Ungleichung \(|\;f(z)\;|\leqq 1\) genügen, das \(Max |\;f'(z_0)\;|=\omega_n(M, z_0)\). Es sei speziell \(M\) eine aus endlich vielen analytischen Bögen zusammengesetzte Kurve \(\varGamma\), \(z_0\) ein Punkt auf \(\varGamma\) und \(\alpha\pi\) der Außenwinkel von \(\varGamma\) in diesem Punkt; ist \(\alpha>0\), so gibt es zwei positive Konstanten \(A\) und \(B\), so daß \[ An^\alpha<\omega_n<Bn^\alpha, \,n=1, 2, 3,\dots \] Es werden auch andere spezielle Fälle untersucht. (IV 4.)