Zur Geometrie des binären Formennetzes fünfter Ordnung. (Q1454465)

Diese Arbeit ist ein Auszug aus einer größeren (F. d. M. 48, 1301 (JFM 48.1301.*)). Es genüge daher die Hervorhebung einiger Hauptpunkte. Zunächst wird die Einzelform \(f_5\) sowie das Formenbüschel \((f_5, g_5)\) vom Standpunkt der Normkurve 5. Ordnung \(N_5 = \mathbf N_5\) im \(S_5\) aus untersucht. Die Parameterdarstellung von \(N_5\) resp. \(\mathbf N_5\) ist: \[ \begin{aligned} x_0 : x_1 : \ldots : x_5 = 1 : -\lambda : \lambda^2 : \ldots : -\lambda^5, \tag{1} \\ u_0 : u_1 : \ldots : u_5 = \lambda^5 : 5\lambda^4 : \ldots : 1. \tag{2} \end{aligned} \] Einem \(S_4(u)\) ist damit eine ``Schnittform'' \(\varphi\) zugeordnet, wo \(\varphi = 0\) die Schnittpunkte des \(S_4\) mit der \(N_5\) liefert; analog dual einem Punkte \((x)\) eine ``Berührform'' \(f\), wo \(f = 0\) die fünf von \((x)\) an die \(\mathbf N_5\) gehenden Hyperebenen \(T_4\) ergibt. Eine Form \(f = a_\lambda^5\) besitzt eine apolare Kovariante \(j\) der Ordnung drei und des Grades fünf. Sie liefert die Schnittpunkte der einzigen, durch den Punkt \((x)\) gehenden Trisekantenebene der Normkurve. Ein Berührformenbüschel \((f_0, f_1)\) stellt im \(S_5\) eine Gerade dar. Deren Eigenschaften, in bezug auf die Normkurve, hängen von den drei Elementarkombinanten ab: \(r = (f_0, f_1)^1\), \(s = (f_0, f_1)^3\), \(t = (f_0, f_1)^5\), die geometrisch gedeutet werden. Daran schließt sich das Formennetz \((f_0, f_1, f_2)\). Einer Ebene \(\pi_f\) ist ein Berührformennetz \((f_0, f_1, f_2)\) zugeordnet, mit einem apolaren Netz \((\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2)\), dem wieder eine Ebene \(\pi_\varphi\) entspricht. Die Ebenen \(\pi_f\) und \(\pi_\varphi\) sind konjugiert im Nullsystem der Normkurve. Die Fundamental-Kombinanten des \(f\)-Netzes werden auf Grund der \textit{Gordan}schen Form gebildet und wiederum geometrisch gedeutet. So z. B. stellt eine dieser Kombinanten den Treffpunkt der Ebenen \(\pi_f\) und \(\pi_\varphi\) dar. Nunmehr erfolgen Anwendungen auf die ebenen rationalen Kurven 5. Ordnung \(r_5\), als Projektionen der Normkurve. Man erhält so u. a. die Gleichung für die Parameter der neun Wendepunkte in invarianter Gestalt. Im besonderen fällt die Geometrie der \(r_5\) mit vierfachem Punkt zusammen mit der Invariantentheorie einer binären Form 7. Ordnung. Den Schluß bildet die Untersuchung von Korrespondenzen zwischen gewissen ausgezeichneten Ebenen. (V 5 C.)