Theorie der Abelschen Gruppen. II. Ideale Gruppen. (Q1454483)

In einer allgemeinen Abelschen Gruppe \(\mathfrak G\) brauchen die fundamentalen Zerlegungssätze der endlichen Abelschen Gruppen nicht mehr zu gelten. Das Ziel der Arbeit ist, durch Einführung ``idealer'' Elemente \(\mathfrak G\) zu einem Bereich zu erweitern, in dem diese Sätze wieder gültig sind. Es wird zunächst ein erweiterter Bereich \(\tilde{\mathfrak G}\) definiert, und zwar so, daß zu isomorphen \({\mathfrak G}\) stets isomorphe \(\tilde{\mathfrak G}\) gehören. Dabei ist \(\tilde{\mathfrak G}\) eine Gruppe, in der Untergruppen nach gewissen Gesetzen ausgezeichnet sind. Auf diese ``idealen Gruppen'' werden die im 1. Teile der Arbeit aufgestellten Begriffe übertragen. Wie bei den endlichen Abelschen Gruppen existiert stets eine eindeutig bestimmte Zerlegung von \(\tilde{\mathfrak G}\) in, zu den einzelnen Primzahlen gehörige, primäre Gruppen. Im Spezialfall, daß \({\mathfrak G}\) die additive Gruppe der rationalen Zahlen ist, liefert diese Zerlegung die \(p\)-adischen Zahlen. Die der Zerlegung einer endlichen Gruppe in zyklisch direkte Faktoren entsprechende Zerlegung von \(\tilde{\mathfrak G}\) gelingt nicht so vollständig. Im allgemeinsten Falle muß sich der Verfasser darauf beschränken, eine in \(\tilde{\mathfrak G}\) enthaltene Faktorgruppe zu zerlegen. Diese ist auch eine Erweiterung von \({\mathfrak G}\), aber nicht mehr durch \(\tilde{\mathfrak G}\) eindeutig bestimmt.