Sur l'opération itérative des équations de Lagrange. (Q1454596)

In dieser umfangreichen Studie wird in Verallgemeinerung der Theorie der \textit{Fermat}schen Gleichung \[ x^2 - ay^2 = (-1)^\delta \tag{1} \] eine Anzahl von Sätzen über die Gleichung von \textit{Lagrange} \[ u^2 - av^2 = (-1)^\delta \omega \tag{2} \] und über die mit (2) im engen Zusammenhange stehende ``Gleichung von Legendre'' \[ p\sigma^2 - q\tau^2 = (-1)^\delta \omega \tag{3} \] abgeleitet. ((1) wird bekanntlich nach \textit{Euler} -- wenn auch unrichtig -- als \textit{Pell}sche Gleichung bezeichnet; (3) bezeichnet \textit{Nielsen} als Gleichung von \textit{Legendre}, da dieser (3) für \(\omega = 1\) untersucht hat.) In (3) sind \(p\), \(q\), \(\omega\) zu je zweien teilerfremd; zwischen (2) und (3) besteht die Beziehung: \[ a = pq; \quad 1 \leqq p < q \leqq a. \tag{4} \] Den Ausgangspunkt der Untersuchungen \textit{Nielsens} bildet die Rekursionsformel \[ \begin{matrix} \r& \quad \l \\ s_1 = u, & t_1 = v \\ s_{n+1} = s_1 s_n + at_1 t_n; & t_{n + 1} = s_1 t_n + t_1 s_n \end{matrix} \tag{5} \] für die Lösungen von (2). Bezeichnet \(A_n\), \(B_n\) die allgemeine Lösung von (1) und ist demgemäß \[ A_n^2 - aB_n^2 = (-1)^{n\delta}, \] so gibt es bekanntlich zu jeder ganzen positiven Zahl \(k\) einen Index \(r\) (Rang der Zahl \(k\) in bezug auf die Basis \(a\)), welcher die Eigenschaft hat, daß \(B_n\) durch \(k\) teilbar ist, wenn \(n\) durch \(r\) teilbar ist (und umgekehrt). Hieraus folgt, daß die Gleichung \[ x^2 - ak^2 y^2 = (-1)^{n\delta} \tag{"(}\(1^\prime\))" \] auflösbar ist, wenn (1) auflösbar und \(r\) Teiler von \(n\) ist. Mit Hilfe der ``opération itérative'' (5) führt \textit{Nielsen} den entsprechenden Begriff für die Gleichung (2) ein: Ist \(\omega\) ungerade, \(k\) eine zu \(\omega\) teilerfremde, sonst beliebige ganze Zahl \(\geqq 1\), so gibt es eine Zahl \(h\), so daß (wenn (2) auflösbar ist) die Gleichung \[ u^2 - ak^2 v^2 = (-1)^{n\delta} \omega^n \tag{"(}\(2^\prime)\)" \] dann und nur dann auflösbar ist wenn \(n\) durch \(h\) teilbar ist. Die Zahl \(h\) nennt \textit{Nielsen} den Exponenten von \(\omega\) in bezug auf die Basis \(ak^2\). Über \(h\) beweist \textit{Nielsen} den Satz: Sind \(k\) und \(\omega\) ungerade und ist \[ k =p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu} \] die Primzahlzerlegung von \(k\), so ist der Exponent von \(\omega\) in bezug auf die Basis \(ak^2\) ein Vielfaches der Zahl \[ \varOmega = k(p_1^2 - 1)(p_2^2 - 1) \cdots (p_\nu^2 - 1). \] Die Gleichung (3) von \textit{Legendre} spielt eine wesentliche Rolle bei der Untersuchung solcher Gleichungen (2) von \textit{Lagrange}, deren ``Exponent'' gerade ist. Den geraden Exponenten ist ein besonderer Abschnitt gewidmet; ein weiterer Abschnitt befaßt sich mit dem Fall, daß die Basis \(a\) als Summe zweier Quadrate darstellbar ist. Wir müssen es uns versagen, hier auf die zahlreichen Spezialsätze, die Nielsen aufstellt, des näheren einzugehen. Es sei nur noch bemerkt, daß die Resultate auch durch Beispiele illustriert werden. Den Schluß bilden 12 Seiten Tabellen, betreffend Auflösungen der Gleichungen (2) und (3) und gewisser simultaner Gleichungen von der Form (3).