Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören. (Q1454681)

\(f(x) = 0\) sei eine irreduzible normale Gleichung vom Grade \(n\), \({\mathfrak K}\) der durch Adjunktion ihrer Wurzeln zum Rationalen entstehende Körper, \({\mathfrak p}\) ein zur Diskriminante von \({\mathfrak K}\) teilerfremdes Primideal in \({\mathfrak K}\) und \(x_1, \ldots,x_n\) die Wurzeln der gegebenen Gleichung. Dann gibt es gewisse rationale Primzahlen \(p\), so daß für eine Substitution \[ S=\begin{pmatrix} \l&\l&\l&\l\\ 1&2&\ldots&n\\ \alpha_1&\alpha_2&\ldots&\alpha_n \end{pmatrix} \] aus der Galois'schen Gruppe der Gleichung \(f(x) = 0\) die Kongruenzen \[ x_\nu^p=x_{\alpha_\nu} \pmod{\mathfrak p} \quad (\nu = 1,\ldots, n) \] bestehen. Man nennt dann \({\mathfrak p}\) zu \(S\) und die rationalen Primzahlen \(p\) mit der obigen Eigenschaft zur Substitutionsklasse von \(S\) gehörig. Verf. untersucht die durch den Ausdruck \[ \lim_{s=1} \frac{\sum^*\dfrac 1{p^s}}{\log\dfrac 1{s-1}}, \] wo in der \(\sum^* p\) die zur Substitutionsklasse von \(S\) gehörigen Primzahlen in wachsender Reihenfolge durchläuft, definierte Dichtigkeit dieser Primzahlen im Anschluß an Untersuchungen von \textit{E. Kummer} [``Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren'', J. Reine Angew. Math. 35, 327--367 (1847; Zbl 02750794)] und \textit{L. Kronecker} [``Über die Irreduzibilität von Gleichungen'', Berl. Monatsber. 1880, 155--162 (1880; JFM 12.0065.02)] und insbesondere \textit{G. Frobenius} [``Über die Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe'', Berl. Ber. 1896, 689--703 (1896; JFM 27.0091.04)]. Diese Abhandlung ist eine Bearbeitung einer russischen Abhandlung im [Bull. Acad. Sci. Leningrad (6) 17(1923/24), 205--230 (1923); 17(1923/24), 231--250 (1923; JFM 50.0107.02)].