Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Perron. (Q1454704)

Verf. nennt die Form mit reellen Koeffizienten \(\vartheta_1,\ldots, \vartheta_n\) \[ \vartheta_1x_1+\vartheta_2x_2+\cdots + \vartheta_nx_n+x_{n+1} \tag{1} \] extrem, wenn die untere Grenze von \[ |\vartheta_1a_1+ \cdots + \vartheta_na_n+a_{n+1}|\cdot \operatorname{Max}(|a_1|^n, \ldots, |a_n|^n) \] für alle Systeme ganzer nicht sämtlich verschwindender Zahlen \(a_1,\ldots, a_{n+1}\) positiv ist. Ebenso heißt das Zahlensystem \[ \vartheta_1, \vartheta_2,\ldots, \vartheta_n \tag{2} \] extrem, wenn die untere Grenze von \[ \sum_{k=1}^n\left|\vartheta_k-\frac {p_k}{q}\right|q\root{n}\of{q} \] für alle Systeme ganzer Zahlen \(p_1,\ldots, p_n\), \(q\) mit \(q>0\) positiv ist. In einer Arbeit des Ref. [Math. Ann. 83, 77--84 (1921; JFM 48.0194.01)] ist implizit der Satz enthalten, daß, wenn die Form (1) extrem ist, dann auch das Zahlensystem (2) extrem ist. Verf. beweist hier die schwierigere Umkehrung. Die zweite Bemerkung bezieht sich auf den vom Ref. a. a. O. bewiesenen Satz, daß, wenn \(\vartheta\) eine algebraische Zahl vom Grade \(n +1\) ist, die \(n\) Zahlen \(\vartheta\), \(\vartheta^2\), \dots, \(\vartheta^n\) ein extremes System bilden. Diese für den algebraischen Charakter einer Zahl notwendige Eigenschaft ist nicht hinreichend; aber Verf. zeigt, daß die gleiche Eigenschaft nur verhältnismäßig wenig transzendenten Zahlen zukommt, nämlich nur einer Menge vom Maß Null, während die in den \textit{Liouville-Thue-Siegel}schen Kriterien ausgedrückte Eigenschaft der algebraischen Zahlen auch von fast allen (im Lebesgueschen Sinn) transzendenten Zahlen geteilt wird.