Über die geometrische Darstellung der indefiniten binären quadratischen Minimalformen. (Q1454719)

Die Funktionswerte der indefiniten reellen quadratischen Form \[ f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2; \;\;D = b^2 - 4ac > 0, \] für ganze rationale \(x, y\) werden dargestellt durch ein Punktgitter in reeller Zahlenebene: \[ \xi = x + \frac b{2a}y; \;\;\eta=\frac{\sqrt D}{2a}y. \] Minimalform heißt \(f\), wenn \(|f(x,y)| \geqq |a|\) außer für \(x = y = 0\). Die \(M\)-Punkte der reellen Zahlebene: diejenigen, die als Gitterpunkte von Minimalformen (jetzt \(a = 1\)) in Betracht kommen, erhält man, indem man das Innere aller Einheitshyperbelkreuze mit ganzzahligen Mittelpunkten auf der \(\xi\)-Achse ausscheidet, außerdem alle \(n\)-fachen Verkleinerungen der so ausgeschiedenen Figur. Es bleibt eine nirgends dichte perfekte Punktmenge. Die \(M\)-Punkte niedrigster und nächstniedriger Ordinate \(\frac 12\sqrt 5\) und \(\frac 12 \sqrt{13}\) liegen isoliert, für das dritte Minimum schon nicht mehr. Im Zusammenhang mit den Minimalformen werden auch die ``benachbarten'' Lösungen der \textit{Hurwitz}schen Gleichung: \(p^2 + p_1^2+p_2^2 = 3pp_1p_2\) und die Mediantenbildung der Brüche geometrisch erörtert.