Mengentheoretische Behandlung einiger Probleme der diophantischen Approximation und der transfiniten Wahrscheinlichkeiten. (Q1454721)

Unter Verwendung des Begriffes ``homogene Menge'' gelingt die Herleitung einiger Sätze über transfinite Wahrscheinlichkeiten auf einfachem Wege. Sei \(E(n,x)\) die Anzahl der Einsen unter den ersten \(n\) Ziffern der unendlichen dyadischen Entwicklung einer Zahl \(x\), \(0 < x \leqq 1\). Dann gilt der Satz (von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}): Die Menge \(M\) derjenigen \(x\), für die \(E(n,x)=\dfrac n2 + O(\sqrt n)\) ist, ist eine Nullmenge. Dagegen hat die Menge \(M_\alpha\) derjenigen \(x\), für die bei gegebenem \(\alpha > 0\) unendlich oft \(\left|E (n, x) - \dfrac n2\right|<\alpha\sqrt n\) ist, das Maß 1. In der Kettenbruchentwicklung fast aller Irrationalzahlen kommt jede natürliche Zahl vor und jede unendlich oft.