Quelques théorèmes sur les alephs. (Q1454734)

\(\alpha\), \(\beta\), \dots seien Ordnungszahlen, \(\overline{\alpha}\) bezeichne die Kardinalzahl der Menge der Ordnungszahlen, die \(\alpha\) vorhergehen. \(\omega_\alpha\) und \(\aleph_\alpha\) haben die übliche Bedeutung; \(\gamma= cf(\beta)\) bedeutet: \(\omega_\gamma\) ist die kleinste Anfangszahl, mit der \(\beta\) konfinal ist. Ausgehend von der \textit{Hausdorff}schen Formel (1904; F. d. M. 35, 89 (JFM 35.0089.*)) \[ \aleph_{\alpha+1}^{\aleph_{\beta}}= \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}\aleph_{\alpha+1} \] beweist Verf. mit Hilfe von transfiniter Induktion: Wenn \(\overline{\gamma} \leqq \aleph_{\beta}\) ist, gilt \[ \aleph_{\alpha+\gamma}^{\aleph_{\beta}}= \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}\cdot \aleph_{\alpha+\gamma}^{\overline{\gamma}}. \] Ebenso folgt aus einer \textit{Bernstein}schen Formel (1905; F. d. M. 36, 98 (JFM 36.0098.*)): \[ \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}= 2^{\aleph_{\beta}}\aleph_{\alpha}^{\overline{\alpha}}. \] Ferner wird ein Analogon einer von \textit{Hausdorff} für Kardinalzahlen \(\alpha\) von erster Art angegebenen Rekursionsformel für Zahlen zweiter Art bewiesen: Wenn \(\alpha\) eine transfinite Zahl zweiter Art ist, gilt \[ \begin{aligned} &\text{wenn} \;\;\beta < cf(\alpha): \tag{1} \\ &\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}= \sum_{\xi<\alpha} \aleph_{\xi}^{\aleph_{\beta}} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{wenn} \;\;&\beta \geqq cf(\alpha) \;\;\text{und} \;\;\lim_{\xi<\omega_{cf(\alpha)}} \sigma_\xi=\alpha: \tag{2} \\ &\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}= \prod_{\xi<\omega_{cf(\alpha)}} \aleph_{\sigma_\xi}^{\aleph_{\beta}} \end{aligned} \] Eine Anwendung dieser Sätze führt u. a. ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes zu einem Beispiel einer Zahl m, die der \textit{Bernstein}schen Bedingung \[ \text{``}{\mathfrak m}^{{\mathfrak n}}=2^{{\mathfrak n}}\cdot {\mathfrak m} \;\text{für alle} \;\;{\mathfrak n}\text{''} \] nicht genügt. Im letzten Abschnitt wird als Analogon zu der Formel \[ \sum_{\xi<\alpha}\aleph_{\xi}=\aleph_{\alpha} \;\;(\alpha \;\;\text{zweiter Art}) \] bewiesen: für eine transfinite Zahl \(\alpha\) von zweiter Art gilt \[ \prod_{\xi<\alpha}\aleph_{\xi}=\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\overline{\alpha}}} \]