Sur les séries absolument sommables par la méthode des moyennes arithmétiques. (Q1454815)

Sind \(s_n^{(\delta)}\) die Cesàroschen Mittel der Ordnung \(\delta\) für die Reihe \(\sum a_n\), und setzt man \(s_n^{(\delta)} - s_{n-1}^{(\delta)}=a_n^{(\delta)}\), so nennt man \(\sum a_n^{(\delta)}\) die \(C_\delta\)-Transformation von \(\sum a_n\). Ist sie konvergent, so heißt \(\sum a_n\) \(C_\delta\)-summierbar. Ist sie absolut konvergent, so sagt Verf., \(\sum a_n\) sei absolut \(C_\delta\)-summierbar, kürzer: \(|C_\delta|\)-summierbar. Für andere Summierungsverfahren ist dieser Begriff schon früher vom Ref. eingeführt und ausgenützt worden (1923; vgl. F. d. M. 49, 234 (JFM 49.0234.*)). Mit Hilfe dieses Begriffes gelingt es, eine ganze Reihe von Sätzen über konvergente oder summierbare Reihen zu verallgemeinern oder zu verschärfen. Es seien die folgenden Sätze genannt. 1. Aus der \(| C_\gamma|\)-Summierbarkeit folgt die \(|C_\delta|\)-Summierbarkeit für jedes \(\delta > \gamma\). 2. Ist die \(C_\delta\)-Transformation einer Reihe \(|C_\gamma|\)-summierbar, so ist diese selbst \(| C_{\gamma+\delta}|\)-summierbar. 3. Das Cauchysche Produkt zweier Reihen, von denen die eine \(C_\gamma\)-, die andere \(C_\delta\)-summierbar ist, ist \(C_{\gamma+\delta}\)-summierbar, falls die Summierbarkeit wenigstens einer der Reihen eine absolute ist. Läßt man die letzte Bedingung fallen, so kann nur die \(C_{\gamma+\delta+1}\)-Summierbarkeit der Produktreihe behauptet werden, wie \textit{K. Knopp} -- nicht erst \textit{S. Chapman}, wie Verf. fälschlich behauptet -- 1907 bewiesen hat (s. F. d. M. 38, 297 (JFM 38.0297.*)). 4. Sind im Falle des vorigen Satzes \textit{beide} Faktorreihen absolut summierbar, so ist auch die Produktreihe absolut summierbar. 5. \(\sum a_n\) sei \(|C_\delta|\)-summierbar. Dann ist \(\sum\left|\dfrac{a_n}{n^\delta}\right|\) konvergent. Den Schluß bildet die genaue Untersuchung der absoluten Summierbarkeit von \(\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^s}\). (IV 4.)