Sur les fonctions continues à un nombre dérivé sommable. (Q1454887)

\textit{H. Hahn} hat in der ``Theorie der reellen Funktionen. I'' Berlin: Springer (1921; JFM 48.0261.09), S. 589] die Frage aufgeworfen, ob eine stetige Funktion von beschränkter Variation, die jede Menge vom Maße Null in eine Menge vom Maße Null überführt, absolut stetig ist. Die Richtigkeit dieser Vermutung ist durch die Denjoysche Theorie der Totalisation und auf elementare Weise von \textit{S. Banach} (s. vorstehendes Referat JFM 51.0199.03) bestätigt worden. Im Anschluß an diese Frage gelangt Verf. zu folgenden Resultaten: (1) Dann und nur dann ist eine stetige Funktion \(f(x)\) im Intervall \(J=(a, b)\) von beschränkter Variation, wenn sie dort eine summierbare Derivierte besitzt, und wenn für jede endliche Folge von paarweise fremden perfekten Mengen \(F_1, F_2,\ldots, F_n\) vom Maße Null \[ \sum_{\nu=1}^{n} |f(F_{\nu})| \le M \] gilt, wobei \(M\) von der Folge \(F_{\nu}\) nicht abhängt und \(|f(F_{\nu})|\) das (äußere) Maß der Bildmengen der \(F_v\) bezeichnet. (Bedingung \(N'\)). (2) Dann und nur dann ist eine stetige Funktion \(f(x)\) absolut stetig, wenn sie eine summierbare Derivierte besitzt und jede perfekte Menge vom Maße Null wieder in eine Menge vom Maße Null überführt (Bedingung \(N\)). Der Beweis dieser beiden Sätze beruht auf dem Lemma: wenn \(\lambda(x)\) eine Derivierte der im Intervall \(J=(a,b)\) stetigen Funktion \(f(x)\) ist, so gilt: \[ |f(b)-f(a)| \leqq \int_a^b |\lambda(x)| \, dx + m(J), \] wenn \(m(J)\) die obere Grenze der Maßzahlen \(|f(F)|\) bezeichnet, wobei \(F\) alle perfekten Teilmengen von \(J\) vom Maße Null durchläuft.