The convergence of certain integrals. (Q1454907)

\textit{Lusin} (1913; F. d. M. 44, 297 (JFM 44.0297.*)-298) hat bewiesen, daß, wenn \(f(x)\) irgendeine quadratisch integrierbare Funktion ist, das Integral \(\displaystyle \int\limits_{-1}^{+1} \frac{f(x+t)}{t} \, dt\), als Cauchyscher Hauptwert verstanden, fast überall existiert. Verf. macht dazu folgende Bemerkungen: 1. Die Bedingung, daß \(f(x)\) quadratisch integrierbar ist, ist nicht wesentlich. \textit{Plessner} hat gezeigt (1923; F. d. M. 49, 204 (JFM 49.0204.*)), daß die Integrierbarkeit von \(f(x)\) hinreicht. 2. Die Funktion \(\displaystyle \frac{1}{t}\) kann nicht durch eine Funktion ersetzt werden, die schneller unendlich wird, wenn \(t\to 0\); in diesem Falle kann das Integral auf einer Menge von positivem Maß divergieren, sogar wenn \(f(x)\) stetig ist (Satz I). 3. Die Konvergenz des Cauchyschen Hauptwertes hängt nicht nur von der Kleinheit von \(f(x+t)-f(x-t)\) bei kleinem \(|t|\) ab, sondern auch von der Interferenz von positiven und negativen Werten, denn das Integral \(\displaystyle \int\limits_0^1 \frac{|f(x+t)-f(x-t)|}{t}\, dt\) kann auf einer Menge vom positiven Maß divergieren (Satz II). 4. Das scheinbar ähnliche Integral \(\displaystyle \int\limits_0^1 \frac{f(x+t)-f(x)}{t}\, dt\) kann auf einer Menge vom positiven Maß divergieren (Satz III). I. Ist \(\varPhi(t)\) eine stetige positive wachsende Funktion und \(\displaystyle \frac{\varPhi(t)}{t} \to 0\) für \(t\to 0\), dann gibt es eine stetige Funktion \(f(x)\) mit \(\displaystyle \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{\varepsilon}^1 \frac{f(x+t)-f(x-t)}{\varPhi(t)}\, dt\) fast überall divergent. II. Ist \(\varPhi(t)\) eine stetige positive wachsende Funktion und \(\displaystyle \int\limits_{0}^1 \frac{dt}{\varPhi(t)}\) divergent, dann gibt es eine stetige Funktion \(f(x)\) mit \(\displaystyle \int\limits_0^1 \frac{|f(x+t)-f(x-t)|}{\varPhi(t)}\, dt\) fast überall divergent. III. Wenn \(\varPhi(t)\) den Bedingungen des Satzes II genügt, dann gibt es eine stetige Funktion \(f(x)\) mit \(\displaystyle \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{\varepsilon}^1 \frac{f(x+t)-f(x)}{\varPhi(t)}\) fast überall divergent.