Sur quelques généralisations des fonctions presque périodiques. (Q1454939)

Die Bohrsche Theorie der fastperiodischen Funktionen, welche die Funktionen in \(-\infty <x< +\infty\) gleichmäßig stetig voraussetzt, wird auf den Fall von Funktionen ausgedehnt, die entweder meßbar oder \(L\)-integrierbar (d. h. im Lebesgueschen Sinne) oder deren Quadrat \(L\)-integrierbar ist. Die Definitionen lauten: Eine meßbare Funktion \(f(x)\) reellen Argumentes heißt fastperiodisch (I), wenn jedem Paar positiver Zahlen \(\varepsilon\), \(d\), (\(\varepsilon < 1\)). eine Länge \(l = l(\varepsilon, d)\) entspricht, so daß in jedem Intervall der Länge \(l\) mindestens eine ``Fast-Periode'' liegt, d.h. eine Zahl \(\tau\), für die die Ungleichung \[ |f(x + \tau ) - f(x)| \leqq\varepsilon \] für alle \(x\) erfüllt ist außer für eine Menge, deren mittlere Dichte in jedem Intervall der Länge \(d\) höchstens \(= \varepsilon\) ist. Die Funktion heißt fastperiodisch (II). wenn sie \(L\)-integrierbar ist und \[ \frac{1}{d}\int\limits_\alpha^{\alpha + d} |f(x+\tau ) - f(x)| dx \leqq\varepsilon \] für jedes \(\alpha\) gilt. Sie heißt fastperiodisch (III), wenn \(f^2\) \(L\)-integrierbar ist und für jedes \(\alpha\) \[ \frac{1}{d}\int\limits_\alpha^{\alpha + d} |f(x+\tau ) - f(x)|^2 dx \leqq\varepsilon \] gilt. Für diese Funktionenklassen gelten ähnliche Sätze wie in der Bohrschen Theorie.