Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier. (Q1454952)

Es sei \(f(\theta )(z =\varrho \,e^{i\theta })\) summierbar vorgegeben, \(f(z)\) die zugehörige durch das Poissonsche Integral erzeugte Potentialfunktion im Einheitskreise, \(g(z)\) die konjugierte, \(g(\theta )\) deren Randwerte (d.h. der für fast alle \(\theta \) existierende Grenzwert von \(g(z)\) bei Annäherung an \(e^{i\theta }\) längs eines den Einheitskreis nicht berührenden Weges). Im allgemeinen ist \(g(\theta )\) eine nicht summierbare Funktion. Verf. zeigt nun: \(|g(\theta )|^{1-\varepsilon }\) \((\varepsilon > 0)\) ist summierbar. Daraus folgert er weiter: Ist \(f(x)\) eine summierbare Funktion, und sind \(S_n(x)\) die Partialsummen ihrer Fourierreihe, so ist \[ \lim _{n=\infty }\,\int _0^{2\pi }|f(x)-S_n(x)|^{1-\varepsilon }\,dx =0. \] (Nach \textit{Steinhaus} ist das nicht immer richtig für \(\varepsilon = 0\); vgl. F. d. M. 46, 459 (JFM 46.0459.*).) (IV 13.)