The double Fourier series of a discontinuous function. (Q1454977)

Verf. verallgemeinert die \textit{Hardy}schen Untersuchungen über doppelte Fourierreihen (1905; F. d. M. 36, 501 (JFM 36.0501.*)-502), indem er die Forderung der (Hardyschen) beschränkten Variation weitgehend fallen läßt, dafür aber keine Konvergenz (im Sinne der Doppelreihe) erhält, sondern nur Konvergenz, wenn die beiden Indizes der Doppelreihe in gewissem Sinn miteinander verknüpft gegen \(\infty \) gehen. Eine Funktion \(f(x,y)\) heißt bei Verf. (in Verallgemeinerung der Hardyschen Definition) in einem Bereiche von beschränkter Variation, wenn sie Differenz zweier positiver Funktionen \(g_1(x, y)\) und \(g_2(x, y)\) ist, die dort bei Festhaltung einer Veränderlichen in der andern monoton wachsend sind und dort der Bedingung \[ g(x,y) - g(x',y) - g(x,y') + g(x',y')\geqq 0\;\;\;\;\;(x>x',\;y>y') \] genügen. Verf. untersucht die Fourierreihe der im Quadrat \(\langle -\pi, \pi ; -\pi, \pi \rangle \) erklärten Funktion \(f(x,y)\) im Punkt \((0,0)\). Er setzt voraus, daß 1. \(f(x, y)\) im genannten Quadrat doppelintegrierbar ist, 2. ein kleineres Quadrat \(\langle -\delta, \delta ; -\delta, \delta \rangle \) existiert, das durch endlich viele monotone vom Nullpunkt ausgehende Kurven in endlich viele Gebiete \(R_1,\ldots,R_{r_1}\) (im ersten Quadranten),\(\ldots,\) \(R_{r_3+1},\ldots,\) \(R_{r_4}\) (im vierten Quadranten) geteilt wird, in denen die Funktion \(f(x,y) = f_r(x,y)\) einzeln von beschränkter Variation ist, 3. ferner ein \(\delta '\) existiert, so daß \(f(x,y)\) in den Rechtecken \(\langle \delta, \pi ;\;0, \pm \delta '\,\rangle \), \(\langle -\pi, -\delta ;\;0, \pm \delta '\,\rangle ;\) \(\langle 0, \pm \delta ';\;-\pi, -\delta \rangle \) von beschränkter Variation ist. Verf. beweist Sätze von folgendem Typus: I. Für jede der Teilkurven \(y=\lambda (x)\) gelte \(a\,|x|\leqq \lambda (x)\leqq b\,|x|\) \((a>0)\). \(m\) und \(n\) sollen so gegen Unendlich gehen, daß \(\displaystyle \frac {m}{n}\) gegen Null bzw. Unendlich geht, oder es soll erst \(n\) bzw. \(m\) und dann \(m\) bzw. \(n\) gegen Unendlich gehen. \vskip -\abovedisplayskip\vskip -\baselineskip Dann ist \[ \begin{aligned} \lim S_{m,n} &=\tfrac {1}{4}\big (f_1(0,0)+ f_{r_2}(0,0)+f_{r_2+1}(0,0) +f_{r_4}(0,0)\big ) \tag{\text{*}}\\ \noalign{\vskip0.3ex\noindent\text{bzw.}\vskip-\baselineskip} &=\tfrac {1}{4}\big (f_{r_1}(0,0)+ f_{r_1+1}(0,0)+ f_{r_3}(0,0) +f_{r_3+1}(0,0)\big ). \end{aligned} \] \vskip -\belowdisplayskip\noindent Dabei ist \(f_r(0, 0)\) der Grenzwert von \(f_r(x,y)\) in \(R_r\) und \(S_{m,n}\) die \((m,n)\)-te Partialsumme der Fourierreihe. II. Für die vier der \(x\)-Achse benachbarten Kurven gelte \(a\,|x|^p\leqq \lambda (x)\leqq b\,|x|^p\) \((p>1)\) und für die übrigen dieselbe Bedingung wie in I. \(m\) und \(n\) sollen so gegen Unendlich gehen, daß \(\displaystyle \frac {m}{n}\) gegen Null, und \(\displaystyle \frac {m^p}{n}\) gegen Unendlich (bzw. Null) geht (oder es soll erst \(n\) und dann \(m\) gegen Unendlich gehen). Dann gilt \[ \lim S_{m,n} =\frac {1}{4}\big (f_2(0,0)+ f_{r_1-1}(0,0)+ f_{r_2+2}(0,0)+f_{r_4-1}(0,0)\big ) \] bzw. (\(^*\)). Auf die weiteren Verallgemeinerungen soll hier nicht eingegangen werden.