Sur le théorème de MM. Fischer et Fr. Riesz sur la convergence en moyenne. (Q1454986)

Im Anschluß an einen Vortrag von \textit{Noaillon} im Hadamardschen Seminar bringt Verf. einen neuen Beweis des Riesz-Fischerschen Satzes. Dieser Beweis fußt auf Ideen von \textit{Weyl} und \textit{Egoroff} und zeigt mancherlei Berührungspunkte mit dem von \textit{Plancherel} gegebenen Beweis (1923; F. d. M. 49, 190 (JFM 49.0190.*)). Am Anfang wird der bekannte Satz von \textit{Fréchet} über die Darstellung eines linearen Funktionals bewiesen und daraus der Riesz-Fischersche Satz abgeleitet. Umgekehrt wird weiter gezeigt, daß sich der Satz von \textit{Fréchet} aus diesem leicht ableiten läßt, und daß der Riesz-Fischersche Satz durch Benutzung des von Weyl und Egoroff eingeführten Begriffs der ``convergence en mesure'' direkt beweisbar ist. Am Schluß wird folgende, von Noaillon gegebene Verallgemeinerung bewiesen: \(\omega (r)\) sei eine stetige gerade Funktion, \(\omega (0)=0\), \(\omega (r)\) wachse mit \(|r|\). Unter Entfernung von \(f(x)\), \(g(x)\) werde die Größe \(r\) verstanden, für welche \[ \omega (r) = \int _0^1\omega [f(x)-g(x)]\,dx \] ist. Ist dann \(f_n(x)\), \(n=1,2,\ldots \) irgend eine Folge meßbarer Funktionen mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_m-f_n)\,dx \to 0\), für \(m, n \to \infty \), so gibt es eine meßbare Funktion \(f(x)\) mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\) für \(n \to \infty \). Umgekehrt, wenn \(\omega (r)\) die weitere Voraussetzung \(\omega (2r)\leqq k\omega (r)\), \(k=\) const. erfüllt, folgt aus \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\), \(n \to \infty \), die Formel \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_n-f_m)\,dx \to 0\), \(m, n \to \infty \). Die älteren Resultate von Riesz, Fischer, Plancherel sind hierin für \(\omega (r)=r^\alpha \), \(\alpha >0\), enthalten. (IV 7.)