Conjugate trigonometrical integrals. (Q1454994)

Verf. betrachtet die konjugierten trigonometrischen Integrale \[ \frac1\pi\int_0^{\infty} du\int_{-\infty}^{\infty}\cos u(t-x)f(t)dt, \tag{1} \] \[ \frac1\pi\int_0^{\infty}du\int_{-\infty}^{\infty}\sin u(t-x)f(t)dt \tag{2} \] und beweist folgende Sätze: I. Ist \(f(t)\) in \((- \infty,\infty)\) integrierbar, dann konvergiert (2) gegen den Wert \[ \frac1\pi\int_0^{\infty}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}dt \tag{3} \] vorausgesetzt, daß (3) ein absolut konvergentes Integral ist. II. Wenn \(f(t)\) in \((-\infty, \infty)\) integrierbar ist, dann ist (2) \((C, 1)\)-summierbar und hat (3) als \((C, 1)\)-Wert, für jeden Wert von \(x\), für welchen \[ \int_0^t |f(x+u)-f(x-u)|dt = o(t) \tag{4} \] ist, und für welchen (3), als Grenzwert \[ \lim_{\varepsilon=0}\frac1\pi\int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}dt \tag{5} \] aufgefaßt, einen Sinn hat. III. In einem Punkt, wo (4) gilt, und wo (5) für ein bestimmtes \(k_0 > 0\) (\(C, k_0\)) summierbar ist, ist (5) gegen denselben Wert \((C, k)\)-summierbar für jedes \(k > 0\). IV. (2) ist für jedes \(k>0\) und für fast alle Werte von \(x\) \((C, k)\)-summierbar gegen (5). V. Wenn \(f(x)\) in \((-\infty,\infty)\) quadratisch integrierbar ist, ist fast überall (2) = (5), vorausgesetzt daß jede Integration des iterierten Integrals (2) im Cesàroschen Sinne \((C, 1)\) verstanden wird. Führt man die Funktionen ein (Hilbertsche Transformation) \[ g(x)=\frac1\pi\int_0^{\infty}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}dt \tag{6} \] \[ f(x)=-\frac1\pi\int_0^{\infty}\frac{g(x+t)-g(x-t)}{t}dt, \tag{7} \] so gilt: VI. Wenn das Integral (1) absolut konvergiert, gelten die Reziprozitätsformeln (6), (7) (wenn jedes Integral als \(\lim\limits_{a\to 0, b\to\infty}\int_a^b\) verstanden wird) und das Fourierintegral von \(g(x)\) konvergiert absolut. Setzt man voraus, daß \(f(x)\) in \((-\infty,\infty)\) quadratisch integrierbar ist, so gelten die zwei folgenden Sätze: VII. Es gibt eine quadratisch integrierbare Funktion \(g(x)\) mit den Reziprozitätseigenschaften (fast überall) \[ g(x)=-\frac1\pi\frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\log\left|1-\frac xt\right|dt, \] \[ f(x)=\frac1\pi\frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\log\left|1-\frac xt\right|dt. \] VIII. Genügt ferner \(f(x)\) der Lipschitzschen Bedingung \(|f (x +h)-f(x)|<A|h|^{\alpha}\), (\(0<\alpha<1\)) gleichmäßig in \(x\), dann genügt \(g(x)\) denselben Bedingungen und die Reziprozität (6), (7) gilt. Ferner ist \(\int_{-\infty}^{\infty}f^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}g^2dx\). Folgender Satz ist eine Ausdehnung der Hilbertschen Transformation auf nicht absolut konvergierende Integrale. IX. \(f(x)\) sei beschränkt und genüge einer Lipschitzschen Bedingung der Ordnung \(\alpha\) (\(0<\alpha<1\)) gleichmäßig in \(x\). Ferner seien die Integrale \[ \int^{\infty}\frac{f(t)\log t}tdt,\quad \int_{-\infty}\frac{f(t)\log(-t)}tdt \] konvergent (nicht notwendig absolut konvergent). Dann gelten die Reziprozitätsformeln (6), (7), \(g(x)=O(\log x)\), \(x\to\infty\); \(g(x)\) erfüllt dieselbe Lipschitzsche Bedingung wie \(f(x)\), und die Integrale \(\int^{\infty}\dfrac{g(t)}tdt\), \(\int_{-\infty}\dfrac{g(t)}tdt\) sind (nicht absolut) konvergent.