Extensions of Fourier's integral formula to formulae involving Bessel functions. (Q1454999)

Verf. stellt eine Reihe von Integralformeln mit Besselschen Funktionen zusammen, die vom Typus des Fourierschen Integrals sind. Von diesen möge hier nur \[ f (x) = - 2\pi\int_0^{\infty} J_{\nu}(xu) Y_{\nu}(xu) udu \int_0^{\infty} \frac{d}{du}[uJ^2_{\nu}(tu)] tf(t) dt \] angeführt werden, da die übrigen Formeln vom Verf. in früheren Arbeiten mehr oder weniger ausführlich behandelt worden sind. Die angeführte Gleichung wurde von \textit{Bateman} für den Fall \(\nu= 0\) ausgesprochen. Sie gilt für \(\nu\geqq 0\), wenn \(tf(t)\) über \((0, \infty)\) integrierbar ist, und für \(-\frac12<\nu<0\), wenn außerdem \(t^{2\nu+1}f(t)\) über \((0,\delta)\) integriert werden kann. Für \(v = \pm\frac12\) erhält man das Fouriersche Sinusintegral. (IV 6 B.)