Some formulae in the theory of Bessel functions. (Q1455000)

Verf. beweist eine Watsonsche Formel \[ J_{\mu}(x)Y_{\nu}(x)-J_{\nu}(x)Y_{\mu}(x)=\frac4{\pi^2} \sin (\mu-\nu)\pi \int_{0}^{\infty} K_{\nu-\mu}(2x\mathfrak{Sin}\,t) e^{-(\mu+\nu)t}dt \] mit Hilfe der Mellinschen Umkehrformeln. Er gibt weiter ohne Beweis die folgenden Umkehrformeln an: \[ \begin{aligned} \varphi(x) &=\int_{0}^{\infty}[\cos a\pi J_{\nu}(xt)+ \sin a\pi Y_{\nu}(xt)]tf(t)dt,\\ f(x) &=\int_0^{\infty} F(xt)t\varphi(t)dt,\\ F(x) &=\sum_0^{\infty} \frac{(-1)^p(\frac12x)^{\nu+2a+p}}{\varGamma(a+1+p)\varGamma(\nu+a+1+p)}. \end{aligned} \] Diese Formeln reduzieren sich für \(a=0\) auf die Hankelschen Umkehrformeln; für \(a=\frac12\) bekommt man eine von Titchmarsh kurz vorher entdeckte Formel (Proceedings L. M. S. (2) 22 (1924), XXXIV-XXXV). Im Falle \(\nu=\frac12\) bekommt man \[ f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty}\sin(xt-a\pi)g(t)dt, \] \[ g(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty}C_{2a+1}(xt)f(t)dt, \] wo \(C_q(u)\) die bekannte von \textit{W. H. Young} (1912; F. d. M. 43, 531 (JFM 43.0531.*)) herrührende Verallgemeinerung von \(\cos u\) bezeichnet. (IV 6 B.)