The sufficient conditions for the differentiability of a function of a complex variable. (Q1455017)

Es soll bewiesen werden: Die Funktion \(f(x + iy)\) ist differenzierbar als Funktion der komplexen Variablen \(z = x - iy\), wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind und \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) eine stetige Funktion von \(y\) (oder \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) eine stetige Funktion von \(x\)) ist. Inzwischen hat \textit{Looman} (1923; F. d. M. 49, 709 (JFM 49.0709.*)) ein viel weiter reichendes Ergebnis bewiesen. Außerdem ist die für den Beweis wesentliche Relation (vgl. p. 358 f.) \(\varepsilon_1 (h,k) \to 0\) für \(h^2 + k^2 \to 0\) nicht begründet (aus der Gleichung (5) auf p. 358 folgt nur \(\varepsilon_1 (h,k) \to 0\) für \(k \to 0\) bei festem \(h\)). Zusatz bei der Korrektur: Bezüglich der Arbeit von Herrn \textit{Looman} vgl. jedoch den durch \textit{J. Ridder}, Math. Ann. 102. 132-156 (F. d. M. \(55_2\)), insbesondere S. 154 erfolgten Hinweis auf eine Lücke im Beweise.