Über Reihenentwicklung analytischer Funktionen. (Q1455024)

Die Entwickelung einer in der Umgebung der Stelle \(z = d\) regulär analytischen Funktion \(f (z)\) in eine Potenzreihe nach \((z - d)\) erhält man aus der Integraldarstellung von \(f (z)\), indem man \(\dfrac{1}{z-x}\) nach Potenzen der ``Ortsuniformisierenden'' \((z - d)\) entwickelt. Man kann nun einerseits allgemeinere Ortsuniformisierende nehmen und erhält dann neue Entwickelungen. Andererseits kann man an Stelle von \(\dfrac{1}{z-x}\) allgemeiner Elementarfunktionen \(E (z, x)\) sowie Elementardifferentiale \(dF(x,z)\) von zwei Veränderlichen betrachten, wie sie sowohl speziell in der Klasse der rationalen Funktionen als (noch allgemeiner) bei den Klassen algebraischer oder Riemannscher Transzendenten auftreten (siehe \textit{R. König}, 1922 ; F. d. M. 48, 430 (JFM 48.0430.*)). Der Entwicklung von \(\dfrac{1}{z-x}\) in die geometrische Reihe entsprechen dann, als Verallgemeinerung, Entwicklungen von \(E (z, x)\) bzw. \(dF(x,z)\), die nach Potenzen der Ortsuniformisierenden fortschreiten und deren Koeffizienten Elementarfunktionen bzw. Elementardifferentiale einer Veränderlichen sind. Diese Entwicklungen werden (Verf. beschränken sich in vorliegender Arbeit auf die Klassen der rationalen Funktionen) für beliebige Entwicklungsstellen und allgemeine Ortsuniformisierende aufgestellt und ihr Gültigkeits bereich untersucht. Mit Hilfe der Integraldarstellung ergeben sich dann Reihen entwicklungen für analytische Funktionen und Differentiale, unter denen die Polynomreihen von \textit{Faber} (1903; F. d. M. 34, 430 (JFM 34.0430.*)-431; 1907; F. d. M. 38, 439 (JFM 38.0439.*)-440) als spezielle Fälle erscheinen. Schließlich werden die erhaltenen Entwicklungen zur Summation divergenter Reihen verwendet, wobei sich speziell Entwicklungen von \textit{Perron} (1923; F. d. M. 49, 234 (JFM 49.0234.*)-235) einordnen.