Mathematische Miszellen. III: Über Nullstellen gewisser im Einheitskreis regulärer Funktionen und einige Sätze zur Konvergenz unendlicher Reihen. (Q1455046)

Den \textit{Blaschkes}chen Satz (1915; F. d. M. \textbf{45}, 638) hatte \textit{Landau} (1918; F. d. M. \textbf{46}, 517) aus der Jensenschen Formel hergeleitet. Darüber hinaus hatte Verf. (1923; F. d. M. \textbf{49}, 713) bewiesen: Das Produkt der absoluten Beträge der von \(0\) verschiedenen Nullstellen \(z_k\) einer in \(|z| < 1\) regulären Funktion \(f(z)\) ist dann und nur dann konvergent, wenn die Mittelwerte \[ \mathfrak M_\varrho(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(\varrho e^{i\vartheta})|\,d\vartheta \] in \(0<\varrho<1\) beschränkt bleiben. Wegen der Jensenschen Formel \(\mathfrak M_\varrho(f)=\log\prod\frac{\varrho}{|z_k|}\), \(|z_k|\leqq\varrho\), folgt dies unmittelbar aus dem folgenden Satz über Reihen mit positiven Gliedern: Eine Reihe \(\sum a_k\) mit positiven monoton zu \(0\) abnehmenden Gliedern \(a_k\) und den Teilsummen \(s_k\), konvergiert dann und nur dann, wenn \(\lim (s_n - na_n)\) existiert. Dieser ist dann gleich der Summe der Reihe. --- Dieser Satz wird zu dem folgenden verallgemeinert: Ist \(\sum a_k\) eine Reihe mit beliebigen positiven Gliedern, \((\mu_k)\) eine Folge positiver Zahlen und nimmt \(a_k/\mu_k\) monoton gegen \(0\) ab, so ist \(\sum a_k\) dann und nur dann konvergent, wenn \[ \lim\left(s_n-\frac{\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n}{\mu_n}a_n\right) \] existiert. Er ist dann gleich der Summe der Reihe. Endlich wird der Satz auf Integrale übertragen und die Frage aufgeworfen, inwieweit er der schärfste Satz seiner Art ist. Vgl. hierzu \textit{K. Knopp}, Jahresbericht D. M. V. \textbf{37} (1928), 325-327; F. d. M. \textbf{54}, 225. (IV 2, IV 3 B.)