Über die Abschnitte einer im Einheitskreise beschränkten Potenzreihe. (Q1455048)

\[ f(z)=a_0+a_1z+\cdots \] sei für \(|z|<1\) konvergent. Es sei daselbst \(|f(z)|<1\). Es sei \[ s_n(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n\qquad (n=0, 1, 2, \cdots). \] Dann wird nach dem größten Kreis \(|z|\leqq\varrho_n\) gefragt, für den die absoluten Beträge von \[ s_n(z), s_{n+1}(z), \cdots \] nie über \(1\) liegen. (Bekanntlich ist \(\varrho_0=\frac{1}{2}\).) \(\varrho_n\) wird für alle \(n\) bestimmt, und zwar ist \(\varrho_n\) gleich der größten Zahl \(r\), für die \[ \tfrac{1}{2}+r\cos\varphi+\cdots+r^n\cos n\varphi \] für kein reelles \(\varphi\) negativ wird. Den Schluß bildet die Besprechung einiger verwandter Fragen.