Über den Picard-Borelschen Satz in der Theorie der ganzen Funktionen. (Q1455060)

Im ersten Abschnitt wird aus der Jensen-Nevanlinnaschen Formel eine Ungleichung hergeleitet, die zwischen den Funktionen \[ m(r,F)=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\buildrel{+}\over\log |F(re^{i\vartheta})|\,d\vartheta \] und \[ N(r,F)=\int_0^r\frac{n(t,F)}t\,dt \] \[ (n(t, F) = \text{Anzahl der Nullstellen von } F(z) \text{ in } | z | < t ) \] besteht, wenn man für \(F\) drei in \(|z|< R\) reguläre, Funktionen \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) bzw. deren Differenzen einsetzt. Anwendung dieser Hauptungleichung auf ganze Funktionen führt zu den Borelschen Sätzen über die Nullstellen von \(f (x) - \varphi (x)\). Dabei ist \(f (x)\) eine gegebene, \(\varphi (x)\) eine willkürliche ganze Funktion. Auch ergeben sich verschiedene Verschärfungen dieser den Zusammenhang zwischen Wachstumsordnung von \(f (x)\) und Nullstellendichte von \(f (x)-\varphi(x)\) betreffenden Sätze. Z. B: Falls \[ \lim_{r\to\infty}\frac{m(r,\varphi)}{m(r,f)}=0 \] ist, so ist \[ \frac 12\leqq\limsup_{r\,\to\,\infty}\frac{N(r,f-\varphi)}{m(r,f)}<1 \] außer vielleicht für ein \(\varphi\), für das der letztere Ausdruck \(<\)\(\frac 12\) sein kann. Weitere Verschärfungen ergeben sich für ganze Funktionen endlicher Ordnung. Analoge Sätze werden auch für Funktionen gewonnen, die in einem endlichen Kreis regulär sind.