Quelques propriétés des fonctions méromorphes dans un angle donné. (Q1455079)

\(f(z)\) sei für \(I(z)\geqq0\) meromorph. Die Nullstellen seien \(a_{\mu}\), die Pole \(b_{\nu}\). Man setze \[ \log |f(z)| =U_0(z)+U_1(z) \] und erkläre \(U_0(z)\) durch \[ \begin{multlined} U_0(z)=\frac{1}{\pi}\int_{-\varrho_0}^{\varrho_0} \log|f(t)|\frac{r\sin\psi}{r^2+t^2-2t\cos\varphi} \\ -\sum_{|a_{\mu}|<\varrho_0} \log\left|\frac{z-\bar{a}_{\mu}}{z-a_{\mu}}\right|+ \sum_{|b_{\mu}|<\varrho_0} \log\left|\frac{z-\bar{b}_{\mu}}{z-b_{\mu}}\right|; \end{multlined} \] \(\varrho_0>0\) ist dabei eine beliebig angenommene Zahl. Ferner sei die analytische Funktion \(f_1(z)\) so gewählt, daß \[ \log |f_1(z)|= U_1(z) \] ist. Man setze weiter für \(r >\varrho_0\): \[ A(r,f_1)=\frac1\pi \int_{\varrho_0}^r \{\operatornamewithlimits{log}^+|f_1(t)|+ \operatornamewithlimits{log}^+|f_1(-t)|\} \left(\frac1{t^2}-\frac1{r^2}\right)dt, \] \[ B(r,f_1)=\frac2{\pi r}\int_0^{\pi} \operatornamewithlimits{log}^+|f_1(re^{i\varphi})|\sin\varphi d\varphi, \] \[ C(r,f_1)=2\sum_{\varrho_0\leqq b_{\mu}<r} \left(\frac{1}{|b_{\mu}|}-\frac{|b_{\mu}|}{r^2}\right)\sin\beta_{\mu}. \] Hierbei ist \(b_{\mu} =|b_{\mu}|e^{i\beta\mu}\), \(\operatornamewithlimits{log}\limits^+=\log t\) für \(\log t\geqq 0\), \(\operatornamewithlimits{log}\limits^+ t = 0\) für \(\log t\leqq 0\). Ferner sei \[ S (r, f_1) = A (r, f_1) + B (r, f_1) + C (r, f_1). \] Wir setzen weiter \[ A (r, X) = A\left(r,\frac{1}{f-X}\right) \;\text{ u. s. v. und } \;A (r, \infty) = A(r, f). \] Dann gilt als erster Hauptsatz: \[ A(r, X) + B (r, X) + C(r,X) = S (r, f_1) + O(1). \] Man setze weiter \[ \begin{aligned} a(re^{i\vartheta};X)=&\int_{\varrho_0}^r\operatornamewithlimits{log}^+ \left|\frac 1{f(te^{i\vartheta})-X}\right|\frac{dt}t, \\ \\ b(r;X)=&\int_0^{\frac{\pi}2} \operatornamewithlimits{log}^+ \left|\frac 1{f(te^{i\vartheta})-X}\right|\sin\vartheta d\vartheta, \\ \\ c(r;X)=&\sum_{\varrho_0\leqq r_{\nu}<r}\sin\varphi_{\nu}(X). \end{aligned} \] Hier sind \(r_{\nu}e^{i\varphi_{\nu}(z)}\) die \(X\)-Stellen von \(f(r)\). Die Definition der Ordnung einer in \(I(z)\geqq 0\) meromorphen Funktion fließt nun aus der Betrachtung der Funktion \[ a(r:X) + a(-r;X) + b(r;X) + c(r;X) = h(r; X). \] Es zeigt sich nämlich, daß für ein gegebenes \(\lambda>1\) das Integral \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent(1)}\hfill \int^{\infty}\frac{h(t;x)}{t^{\lambda+1}}dt \hfill} \] entweder für alle \(X\) konvergiert oder für alle \(X\) divergiert. Ist also \(\mu(X)\) die obere Grenze der Zahlen \(\lambda\), für die (1) divergiert, so ist \(\mu(X)\) von \(X\) unabhängig, falls es nur für ein \(X\) größer als 1 ist. Dann heiße dies \(\mu\) Ordnung von \(f(x)\). Ist aber \(\mu(X)\leqq 1\) für ein gewisses \(X\), so verstehe man unter der Ordnung die obere Grenze aller \(\mu(X)\). Durch konforme Abbildung kann man dies alles auf Funktionen übertragen, die in einem Winkelraum meromorph sind. Man setze nun weiter \[ C_1(r) = C\left(r,\frac1{f'}\right)+ 2C(r,f)-C(r,f'). \] Sind dann \(Z_1,\ldots, Z_q\) verschiedene endliche oder unendliche komplexe Zahlen, so ist weiter \[ (q-z)S(r,f)<{\textstyle\sum\limits_1^q}C(r;Z_{\nu})-C_1(r) + R(r), \] wo \[ R(r)< (q-1)\sum_1^q \left(A(r,\frac{f'}{f-z_{\nu}})+B(r,\frac{f'}{f-z_{\nu}})\right)+O(1) \] ist, ein Restglied, das oft von kleinerer Größenordnung als \(S(r,f)\) ist. Hieraus ergeben sich ziemlich genaue Aussagen über die Verteilung der Argumente derjenigen Stellen, wo eine meromorphe Funktion endlicher Ordnung einen gegebenen Wert \(x\) annimmt. Z. B. divergiert stets die Summe \[ \sum\frac{\sin\varphi_{\nu}(x)}{r_{\nu}(x)}, \] wie der Verf. in Verschärfung älterer Ergebnisse beweist. Weiter stellt Verf. ein Analogon der Weierstraßschen Produktdarstellung auf und beweist mit seiner Hilfe die Analoga einiger weiterer Sätze, die bei in der ganzen Ebene meromorphen Funktionen gelten. Er gelangt aber dabei auch zu neuen Aussagen über solche Funktionen selbst. Ich hebe noch die folgende Verschärfung eines älteren Satzes hervor: \(f(z)\) sei eine ganze Funktion der ganzzahligen Ordnung \(q\). \(\alpha\) sei ein beliebiger Winkelraum der Öffnung \(\dfrac{\pi}q\) und es sei \(\displaystyle\int^{\infty}\dfrac{M(r)}{r^{q+1}}dr\) divergent. Ferner sei die über die absoluten Beträge \(r_{\nu}\) der Nullstellen erstreckte Summe \[ \sum\frac 1{r^{\varkappa}_{\nu}} \] und das Integral \[ \int^{\infty}\frac{\operatornamewithlimits{log}^+ M_{\alpha}(r)}{r^{\varkappa+1}}dr \] für einen Wert \(\varkappa>1\) konvergent. Dabei bedeute \(M_{\alpha}(r)\) das \(\max\limits_{|z|=r}|f(z)|\), wenn man nur die jenem Winkelraum \(\alpha\) angehörigen Kreisbogen heranzieht. Unter diesen Voraussetzungen ist für jedes \(x\neq 0\) \[ \sum_{\alpha}\left(\frac1{r_{\nu}(x)}\right)^q \] divergent, wenn man über die absoluten Beträge \(r_{\nu}(x)\) aller \(x\)-Stellen im Winkelraum die Summe erstreckt. Die C. R.-Note bringt ohne Beweis noch eine Reihe weiterer Sätze.