On the isotopy of two-dimensional surfaces in \(\mathbb{R}^4\) (Q1455087)

Eine im vierdimensionalen Raum \(R_4\) gelegene zweidimensionale geschlossene Fläche \(F\) vorn Geschlecht \(p\) (\(p\geqq 0\)) heißt verknotet, wenn es keine eineindeutige stetige, die Indikatrix erhaltende Abbildung des \(R_4\) auf sich gibt, durch die \(F\) in eine in einem \(R_3\) gelegene Normalform (Kugel mit \(p\) Henkeln) übergeführt wird. Verf. gelangt zur Konstruktion von verknoteten Kugeln und Torusflächen auf Grund des folgenden Satzes : \(\overline R_3\) sei ein durch die Ebene \(E\) begrenzter dreidimensionaler Halbraum im \(R_4\), \(M\) eine abgeschlossene Menge im \(\overline R_3\), die \(\overline R_3\) nicht zerlegt und nicht ganz \(E\) enthält. Läßt man \(\overline R_3\) im \(R_4\) um \(E\) rotieren, so beschreibt \(M\) eine Menge \(\mathfrak M\). Die Fundamentalgruppe des Außenraumes von \(\mathfrak M\) im \(R_4\) ist dann einstufig isomorph der Fundamentalgruppe des Außenraumes von \(M\) in \(\overline R_3\). Nimmt man für \(M\) einen im Innern von \(\overline R_3\) gelegenen Knoten, so erhält man als \(M\) einen verknoteten Torus; wenn der Knoten \(M\) mit der Ebene \(E\) genau eine Strecke gemeinsam hat, so entsteht nach Weglassen der in \(E\) gelegenen Strecke eine verknotete Kugel. Flächen höheren Geschlechts entstehen durch Zusammensetzen dieser Typen. Auf dieselbe Weise kann man auch gewisse Typen von verketteten Flächen erhalten. Verf. gibt an, daß zwei unverknotete verkettete Kugeln auf diese Weise nicht hergestellt werden können, weil das Weglassen zweier in \(E\) gelegener Strecken die Fundamentalgruppe nicht mehr ungeändert läßt. Vgl. jedoch die inzwischen erschienene Arbeit von \textit{E. R. van Kampen} 1928; F. d. M. 54, 602 (JFM 54.0602.04). Alle Überlegungen gelten im Rahmen der kombinatorischen Topologie. Für die Polyederflächen muß zur Vermeidung einer gewissen Singularität gefordert werden, daß in jeder Ecke genau drei Kanten zusammenstoßen.