Über eine Verallgemeinerung des Borelschen Theorems. (Q1455100)

\textit{K. Menger} hat (1924; F. d. M. 50,129) für die \(F_\sigma\) den folgenden verallgemeinerten Überdeckungssatz bewiesen: Wenn jedem Punkt einer Menge eine Folge von Umgebungen zugeordnet ist, die auf ihn zusammenschmelzen, so kann man aus all diesen Umgebungen eine Folge von Umgebungen mit gegen Null gehenden Durchmessern auswählen, die die gegebene Menge bereits überdeckt; die Menge ist dabei als separable Teilmenge eines metrischen Raumes gedacht. Gleichzeitig hat K. Menger vermutet, daß dieser Überdeckungssatz über die \(F_\sigma\)-Mengen hinaus nicht gilt. Von dieser Vermutung hat inzwischen \textit{Sierpiński} (Fundamenta 8 (1926), 223-224; F. d. M. 52) gezeigt, daß sie der Kontinuumhypothese widerspricht. In der vorliegenden Arbeit beweist sie Verf. für den Bereich der \((A)\)-Mengen. Verf. geht so vor, daß er neben der oben formulierten Überdeckungseigenschaft \((E)\) die folgende Überdeckungseigenschaft \((E^*)\) betrachtet: Es gebe zu jeder Folge \(\{W_n\}\) von Überdeckungen der vorgelegten Menge eine Überdeckung, die aus je endlich vielen überdeckenden Mengen jeder Überdeckung \(W_n\) der gegebenen Folge \(\{W_n\}\) besteht. Die Eigenschaften \(E\) und \(E^*\) stehen in folgendem Zusammenhang: Es folgt allgemein \(E\) aus \(E^*\) und bei halbkompakten Mengen auch \(E^*\) aus \(E\). Die Eigenschaft \(E^*\) kommt zunächst einmal allen halbkompakten \(F_\sigma\) zu; darüber hinaus ergibt sich folgende notwendige und hinreichende Bedingung für die Erfülltheit von \(E^*\) bei einer Menge \(M\): Nennt man ein System von in \(M\) abgeschlossenen Mengen \(F_{i_1,\dots,i_n}\) ein zu \(M\) gehöriges System \((F)\), falls die Bedingungen. \[ \begin{gathered} \begin{aligned} F_{i_1,\dots,i_{n-1},i_n} &> F_{i_1,\dots,i_{n-1},i_{n+1}}\,,\\ F_{i_1,\dots,i_n} &> F_{i_1,\dots,i_n,i_{n+1}}\,, \end{aligned} \\ \prod_{k=1}^\infty F_{i_1,\dots,i_n,k}=0 \end{gathered} \] erfüllt sind, so muß zu jedem System \((F)\) eine Folge \(\{j_n\}\) existieren mit \[ F_{j_1} \cdot F_{j_1,j_2} \cdot F_{j_1,j_2,j_3} \cdots\cdot =0\,. \] Ein kompaktes \(G_\delta\), das relativ zu seiner abgeschlossenen Hülle keinen inneren Punkt besitzt, z. B. die Menge der irrationalen Zahlen eines Intervalls, hat demnach nicht die Eigenschaft \(E^*\). Die Anwendung des obigen Kriteriums auf halbkompakte \((A)\)-Mengen eines metrischen Raumes liefert als notwendige und hinreichende Bedingung für die Erfülltheit von \(E^*\), also auch von \(E\), die Bedingung, daß die betrachtete Menge ein \(F_\sigma\) ist. Von den weiteren Untersuchungen des Verf. seien noch die erwähnt, die an den Begriff des singulären Punktes einer Menge anknüpfen (Punkt, zu dem keine Umgebung existiert, deren Durchschnitt mit der Menge ein \(F_\sigma\) ist) und die Charakterisierungen der \(F_\sigma\) unter den \(A\)-Mengen, bzw. der \(G_\sigma\) unter den Komplementären von \(A\)-Mengen. Verf. nennt ein System \((F)\) (siehe oben) ausgezeichnet, wenn für jedes Indexsystem \((i_1,\dots, i_n)\) die Durchmesser der \(F_{i_1,\dots i_n,k}\) mit \(k\to\infty\) gegen Null gehen. Notwendig und hinreichend dafür, daß eine separable \(A\)-Menge eines vollständigen Raumes ein \(F_\sigma\) ist, ist dann die Existenz einer Folge \(\{j_n\}\) mit \[ \prod_{n=1}^\infty F_{j_1,j_2,\dots,j_n}=0 \] zu jedem ausgezeichneten System \((F)\). Sei ferner, jedem System \((i_1,\dots, i_n)\) natürlicher Zahlen ein Punkt \(p_{i_1,\dots, i_n}\) von \(M\) derart zugeordnet, daß \[ p_{i_1,\dots, i_n}=\lim_{k=\infty}p_{i_1,\dots, i_n,k} \] ist; ein solches System von Punkten von \(M\) heißt ein Häufungssystem. Gibt es obendrein zu jedem System \((i_1,\dots, i_n)\) eine Zahl \(k(i_1,\dots, i_n)\), derart daß \[ i_2>k(i_1), i_3>k(i_1,i_2), \dots, i_n>k(i_1,\dots,i_{n-1}) \] die Konvergenz von \[ p_{i_1},p_{i_1,i_2},\dots,p_{i_1,i_2,\dots,i_n},\dots \] gegen einen Punkt von \(M\) nach sich zieht, so heißt das Häufungssystem regulär. Als notwendig und hinreichend dafür, daß das separable \(M\) eines vollständigen Raumes, das zu einer \(A\)-Menge komplementär ist, ein \(G_\sigma\) ist, ergibt sich die Regularität jedes Häufungssystems von \(M\). Nach dem \textit{Alexandroff}schen Satz über \(G_\sigma\) in vollständigen Räumen (1924; F. d. M. 50, 134) ergäbe sich hier bei Vermeidbarkeit der Einschränkung auf \(A\)-Mengen eine Charakterisierung der vollständigen Mengen unabhängig von Umgebungs- und Metrikbegriffen durch Limeseigenschaften, also eine Übertragbarkeit des Vollständigkeitsbegriffes auf Fréchetsche Räume.