Sur la distance de deux surfaces. (Q1455102)

Jordanfläche nennt Verf. das stetige Bild (im dreidimensionalen Raum) einer abgeschlossenen Kreisscheibe zusammen mit der Abbildungsfunktion. Homöomorph heißen zwei Jordanflächen, wenn sie durch eine topologische Abbildung der Originalkreisscheiben ineinander übergehen. Die Identität zweier Jordanflächen wird in einer wesentlich auf Konvergenzuntersuchungen zugeschnittenen Weise halb kombinatorisch, halb mengentheoretisch erklärt: sie sollen den ``Abstand'' Null haben. ``Abstand'' zweier Jordanflächen ist dabei die (nicht notwendig angenommene) untere Grenze der Maximalentfernungen zweier bei beliebigen Homöomorphismen der Flächen sich entsprechender Punkte. Dieser Entfernungsbegriff gestaltet die Gesamtheit der Jordanflächen zu einem separablen, vollständigen metrischen Raum. Notwendig und hinreichend für die Kompaktheit einer Menge von Jordanflächen ist, daß sich die Menge in einem beschränkten Raumteil unterbringen läßt, und daß sich die einzelnen Flächen der Menge gleichmäßig in Flächen zerschlagen lassen, deren Maximalsehnen beliebig klein sind.