Les espaces abstraits topologiquement affines. (Q1455106)

Das Referat soll sich zunächst mit der Arbeit aus den Acta Math. beschäftigen. Sie ist Definitionen gewidmet, die den abstrakten Inhalt des Begriffs des affinen Raumes klar herausarbeiten. Im ersten Kapitel wird der Vektorbegriff durch eine Anzahl naheliegender Axiome eingeführt; bemerkt sei nur, daß jedem Vektor ein absoluter Betrag zugeordnet ist, und daß die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl erklärt ist. Dadurch daß (auch wieder in naheliegender Weise) jedem geordneten Elementenpaar einer Menge ein Vektor zugeordnet wird, kann sie in vielen Fällen affinisiert werden. Das entstehende Gebilde läßt sich nun, wie im zweiten Kapitel auseinandergesetzt wird, zu einem topologischen Raum gestalten. Das kann auf dem Umweg über einen Abstandsbegriff geschehen, den man entweder vom absoluten Betrag der Vektoren hernimmt oder in losem Zusammenhang mit dem absoluten Betrag einführt; gilt das Dreiecksaxiom, so entsteht sogar ein metrisch affiner Raum. Man kann aber den affinen Raum auch unabhängig von aller Metrik topologisieren (im Fréchetschen Sinn) ; dann ist die Einführung gewisser weiterer Axiome zweckmäßig, die die Abgeschlossenheit der affinen Geraden (Vielfachen eines Vektors von einem Punkt abgetragen), die Stetigkeit der Translationen und den Einklang der Topologie mit der Metrik auf jeder Geraden gewährleisten. In separablen topologisch affinen Räumen gilt dann eine Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes; jeder Punkt läßt sich nämlich durch endliche Linearverbindungen von Vektoren approximieren. Das dritte Kapitel enthält Beispiele der definierten Räume. Die C. R.-Note ist inhaltlich im wesentlichen mit der soeben besprochenen Arbeit identisch.