Un modo di classificare i punti in un piano. (Q1455179)

Sind \(A\), \(B\), \(C\) die Winkel eines Dreiecks \(ABC\) und \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) die Winkel, unter denen die entsprechenden Seiten des Dreiecks von einem Punkte \(D\) aus erscheinen, so gehört zu jeder ganzen positiven oder negativen Zahl \(n\) ein Punkt \(D = (n)\) der Ebene des Dreiecks, für den \(\alpha \equiv nA\), \(\beta \equiv nB\), \(\gamma \equiv nC \pmod{\pi}\) sind. Die eindeutige Zuordnung hat zwei Ausnahmen: Dem Wert \(n= 1\) entsprechen alle Punkte des Umkreises, dem Werte \(n = 0\) alle Punkte der unendlichfernen Geraden. Der Punkt (2) ist z. B. der Mittelpunkt des Umkreises, der Punkt \((- 1)\) der Höhenschnittpunkt. Der konjugierte isogonale Punkt zu \((n)\) ist \((1- n)\), der reziproke, d. h. bezüglich des durch \((n)\) gehenden Umkreisdurchmessers harmonisch zugeordnete Punkt zu \((n)\) ist \((2 - n)\). Zwei Punkte \((n)\) und \((- n)\) heißen invers. Der inverse Punkt \(D^{'}\) zu \(D\) liegt \(D\) diametral gegenüber in der durch \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) gehenden gleichseitigen Hyperbel. Sind \(m\) und \(n\) zwei ganze positive oder negative Zahlen, so gibt es \(m^2\) Punkte \(D\), für die \(m\alpha \equiv nA, m\beta \equiv nB, m\gamma \equiv nC \pmod{\pi}\) sind. Diese Punkte \(D\) heißen die Punkte \(\left( \dfrac{m}{n}\right)\). Die vier Punkte \(\left( \dfrac{1}{2}\right)\) sind z. B. die Mittelpunkte der vier Berührungspunkte des Dreiecks. Bemerkenswerte Eigenschaften haben auch die Punkte \(\left( \dfrac{0}{n}\right)\). Weiter wird gezeigt, wie man von einem Punkte \(F\) mit dem Zahlenwert (\(F\)) zu einem Punkte (\(F + n\)) oder (\(mF + n\)) übergehen kann, ohne den Zahlenwert (\(F\)) zu kennen. Das wird angewendet auf die beiden Fälle (\(F+1\)) und (\(F-1\)). Die weitere Untersuchung, deren Ergebnisse anzuführen hier zu weit führen würde, erstreckt sich auf gewisse Vielecke und Vielseite, auf Miquelsche Kreise, Cliffordsche Punkte usw.