Eine neue Bestimmung aller Berührungstransformationen der Kreise in der Ebene. (Q1455373)

Verf. geht aus von der aequatio directrix der allgemeinsten Berührungstransformation zwischen zwei Ebenen, die jedem Punkte jeder der beiden Ebenen einen Kreis der anderen zuordnet, und stellt sich die Aufgabe, die auftretenden \(16\) homogenen Parameter so einzuschränken, daß den Kreisen jeder Ebene die Kreise der andern entsprechen. Da jedem Kreise der Ebene zunächst eine bizirkulare Kurve vierter Ordnung der andern entspricht, so ist dazu nur erforderlich, daß diese bizirkularen Kurven alle in je zwei Kreise zerfallen. Er entwickelt nun zunächst, allerdings in sehr unschöner Weise, unter Benutzung von vielen Quadratwurzeln, die alle überflüssig sind, die Bedingungen für das Zerfallen einer bizirkularen Kurve vierter Ordnung. Er findet, daß die \(16\) Koeffizienten vier Gleichungen erfüllen müssen, die in drei willkürlichen Größen \(a\), \(b\), \(c\) vom \(24\)-ten Grade sind und also in eine sehr große Anzahl von Bedingungen zerfallen. Da schon die Aufstellung dieser Bedingungen nicht ausführbar ist, geschweige ihre Diskussion, so kommt man auf diesem Wege nicht weiter. Verf. vereinfacht daher zunächst die ursprüngliche aequatio directrix, indem er in jeder Ebene eine der bekannten Punkttransformationen ausführt, die Kreise in Kreise überführen. Auf diese Weise gelingt es ihm, erstens die beiden bekannten wirklichen Berührungstransformationen der Schar aller Kreise zu finden und zweitens zu zeigen, daß jede Berührungstransformation der Kreise aus einer Punkttransformation und einer dieser beiden Berührungstransformationen zusammengesetzt ist.