Sur quelques propriétés des systèmes algébriques d'espaces à \(k\) dimensions contenus dans un espace linéaire à \(r\) dimensions. (Q1455525)

Dem System der \(k\)-dimensionalen Räume \(S_k\) im \(r\)-dimensionalen linearen Raume \(S_r\) entspricht eineindeutig das \((r-k)(k+1)\)-dimensionale Graßmannsche Gebilde \(V_{(r-k)(k+1)}\) im \(S_R\), \(R = \dbinom{r+1}{k+1}-1\), dessen projektive Koordinaten die Graßmannschen Koordinaten der \(S_k\) sind. Es werden die zu \(l\) unabhängigen linearen Komplexen gehörenden linearen Systeme \(K\) von \(S_k\) untersucht, die alle \(S_k\) enthalten, welche einen \(S_{\varrho}\) in mindestens einem \(S_m\) schneiden. Es wird bewiesen, daß diese Systeme mindestens \(\infty^{l-s_m}\) Spezialkomplexe enthalten, wobei \[ s_m=\sum_{i=0}^m\binom{r-\varrho}{k+1-i}\binom{\varrho+1}{i} -(r-\varrho-k+m-1)(k-m+1)-(r-k)m \tag{1} \] ist. Daraus folgt der Satz: ``Alle \(S_k\), die \(l\) allgemeine \(S_{r-k-1}\) schneiden, welche letzteren alle diejenigen \(S_k\) schneiden, die mit einem \(S_{\varrho}\) mindestens ein \(S_m\) gemeinsam haben, schneiden auch \(\infty^{l-s_m}S_{r-k-1}\), wenn \(l > s_m\), und \(n_m>s_m\) weitere \(S_{r-k-1}\), wenn \(l=s_m\) ist. Dabei ist \[ \begin{aligned} &n_m =\frac{[(r-\varrho-k-1)(k-m+1)+m(r-m+1)]! (m-1)!\ldots.2!} {(r-\varrho-k+m-1)!\ldots(r-\varrho-1)!(r-m+1)!\ldots r!}\tag{2} \\ &\times\frac{(k-m)!\ldots 2!(\varrho+k-m+1)!\ldots(\varrho+k-2m+2)!} {\varrho!\ldots(\varrho-m+1)!}.\text{''} \end{aligned} \] Es werden weitere ähnliche Sätze bewiesen. Die Abbildung des Systems der \(S_k\) auf das Graßmannsche Gebilde spielt bei den Beweisen die Hauptrolle.