Über die linearen Mannigfaltigkeiten auf Hyperflächen zweiter Ordnung. (Q1455528)

Es wird eine einfache analytische Darstellung der linearen Mannigfaltigkeiten \(L_{\mu}\) höchster Dimension \(\mu-1\) gegeben, die auf einer (nicht singulären) Hyperfläche zweiter Ordnung \(Q\) liegen. Deren Gleichung läßt sich in einer der beiden kanonischen Gestalten ansetzen: \[ \begin{aligned} Q_{2n} &\equiv y_1z_1+\cdots+y_nz_n=0,\tag{1}\\ Q_{2n-1} &\equiv y_1z_1+\cdots+y_{n-1}z_{n-1}+y_n^2=0,\tag{2} \end{aligned} \] je nachdem die Anzahl der Variablen gerade oder ungerade ist. Zunächst wird der erste Fall behandelt; die \(Q_{2n}\) liegt in einem \(S_{2n-1}\). Eine \(L_m\) sei von der Dimension \(m-1\) und werde durch \(2n-m\) lineare Gleichungen in den \(y\), \(z\) bestimmt. Man erkennt zunächst, daß auf der \(Q_{2n}\) höchstens \textit{eine} \(L_n\) liegen kann, und eine solche liegt auch stets auf ihr. Sei weiter \(L_{n-p}\), durch \(n+p\) lineare Gleichungen in den \(y\), \(z\) bestimmt, auf der \(Q_{2n}\). Unter diesen Gleichungen befinden sich stets \(n\) derart unabhängige, daß sie sich nach ``Halbsystemen'' der Variablen (d. i. mit lauter verschiedenen Indizes) auflösen lassen. Hieraus folgt, daß jede auf der \(Q_{2n}\) gelegene \(L_{n-1}\) einer \(L_n\) (auf \(Q_{2n}\)) angehört. Damit läßt sich jede \(L_{n-1}\) auf \(Q_{2n}\) durch zwei getrennte lineare Gleichungssysteme einfachen Aufbaus bestimmen. Der Fall der \(Q_{2n-1}\) läßt sich auf den der \(Q_{2n}\) zurückführen, insofern man die \(Q_{2n-1}\) als Schnitt einer \(Q_{2n}\) mit der Hyperebene \(y_n=z_n\) auffassen kann. Damit läßt sich jede auf der \(Q_{2n-1}\) gelegene \(L_{n-2}\) durch ein einziges lineares Gleichungssystem festlegen.