Congruences with constant absolute invariants. (Q1455637)

Nach \textit{Wilczynski} (1911; F. d. M. 42, 681 (JFM 42.0681.*)) ist eine Geradenkongruenz gegeben durch das System partieller Differentialgleichungen \[ \begin{matrix} & \quad \\ y_v = mz, & z_u = ny, \\ y_{uu} = ay + bz + cy_u + dz_v, & z_{vv} = a^\prime y + b^\prime z + c^\prime y_u + d^\prime z_v. \end{matrix} \tag{1} \] Dieses System hat genau vier linear unabhängige Lösungen \(y_i\), \(z_i\) \((i = 1, 2, 3, 4)\), wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Deutet man \(y_i\) und \(z_i\) als homogene Koordinaten zweier Punkte \(P_y\) und \(P_z\), so durchlaufen \(P_y\) und \(P_z\) bei Variation von \(u\) und \(v\) zwei Flächen \(S_y\) und \(S_z\), die die beiden Mäntel der Brennfläche der Kongruenz \(\overline{P_y P_z}\) bilden. Die Torsen der Kongruenz sind die Geradenscharen \(\overline{P_y P_z}\) für \(u = \) const oder \(v = \) const. Jede Transformation \[ y = \lambda(u) \bar y, \quad z = \mu(v) \bar z, \quad \bar u = \alpha (u), \quad \bar v = \beta (v) \tag{2} \] führt das System (1) in sich über. Unter Invarianten sind stets Invarianten dieser Transformationsgruppe verstanden. Ein volles System relativer Invarianten ist dann gegeben durch \[ \begin{matrix} \l & \quad \l \\ \overset {(y)}{\mathfrak B} = \dfrac c4 \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial u} \log (dm^3), & \overset {(z)}{\mathfrak B} = \dfrac c4 + \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial u} \log (c^{\prime 3} n), \\ \overset {(y)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} = \dfrac{d^\prime}{4} + \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial v} \log (d^3 m), & \overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} = \dfrac{d^\prime}{4} \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial v} \log ({c^\prime} n^3). \end{matrix} \tag{3} \] Die in der vorliegenden Arbeit behandelten Kongruenzen mit konstanten absoluten Invarianten zerfallen in drei Typen, je nachdem keine, beide oder nur eine der beiden relativen Invarianten \[ \overset {(z)}{\mathfrak B} - \overset {(y)}{\mathfrak B}, \quad \overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \overset {(y)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \tag{4} \] identisch verschwinden. Im ersten Fall läßt sich das System (1), sofern es sich um keine \(W\)-Kongruenz handelt, durch eine geeignete Transformation in eine Form bringen, wo die Koeffizienten gleich Konstanten sind, die nur von den absoluten Invarianten abhängen, multipliziert mit Potenzen von \(i_4u + i_5v\). Dabei sind \[ i_4 = \frac{\overset {(z)}{\mathfrak B} \overset {(y)}{\mathfrak B}}{\root\uproot 3 4 \of{mn^2 d}}, \quad i_5 = \frac{\overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \overset {(y)}{\mathfrak C}^{\prime\prime}}{\root\uproot 3 4 \of{m^2 nc^\prime}} \] zwei der benützten absoluten Invarianten. Umgekehrt stellt jedes den Integrabilitätsbedingungen genügende System (1) mit derartigen Koeffizienten eine Kongruenz mit konstanten absoluten Invarianten dar (eindeutig bis auf Projektivitäten). \(W\)-Kongruenzen dieses Typs hängen von einer weiteren, von den absoluten Invarianten unabhängigen additiven Konstanten ab. Alle Laplaceschen Transformierten einer Kongruenz dieses Typs sind von demselben Typ, aber projektiv verschieden. Im zweiten Fall, wo beide Invarianten (4) identisch verschwinden, kann das System (1) in eine Form mit konstanten Koeffizienten gebracht werden, die von den absoluten Invarianten und einer willkürlichen additiven Konstanten abhängen. Umgekehrt bestimmt jedes derartige System von Differentialgleichungen (1), wenn es den Integrabilitätsbedingungen genügt, bis auf Projektivitäten eindeutig eine Kongruenz mit konstanten absoluten Invarianten und versehwindenden relativen Invarianten (4). Ferner ist jede Kongruenz dieses Typs eine \(W\)-Kongruenz und ist projektiv identisch mit ihrer 1-ten und \((-1)\)-ten Laplaceschen Transformierten, wobei entsprechende Geraden die gemeinsame Brennfläche im selben Punkt berühren, und umgekehrt besitzt jede Kongruenz, die in dieser Weise mit ihrer 1-ten und \((-1)\)-ten Laplacetransformierten projektiv kongruent ist, konstante absolute Invarianten, während die relativen Invarianten (4) identisch verschwinden. Schließlich gehört jede Kongruenz dieses Typs einem quadratischen Komplex an. Im dritten Fall \(\overset {(z)}{\mathfrak B} - \overset {(y)}{\mathfrak B} \equiv 0\), aber \(\overset {(y)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \not\equiv 0\) ist die Kongruenz bis auf Projektivitäten durch eine der absoluten Invarianten bestimmt. Die 1-te und \((-1)\)-te Laplacetransformierte sind untereinander und von der ursprünglichen Kongruenz projektiv verschieden.