Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen. (Q1455673)

\(\mu\) sei eine geschlossene zweiseitige \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, \(m\) ein in den \((n+1)\)-dimensionalen Euklidischen Raum \(R_{n+1}\) eingebettetes eindeutiges und im Kleinen eineindeutiges stetiges Bild, ein ``Modell'' von \(\mu\), das überall einen eindeutig bestimmten und stetig vom Orte abhängenden \(n\)-dimensionalen Tangentialraum besitzt. Aus der Gaußschen Definition des Krümmungsmaßes durch die Normalenabbildung folgt unmittelbar, daß das über die ganze Hyperfläche \(m\) erstreckte Integral der Gaußschen Krümmung gleich dem Produkt aus dem Oberflächeninhalt der \(n\)-dimensionalen Einheitskugel und dem Grad der durch die Normalen vermittelten Abbildung der Mannigfaltigkeit auf die Kugel ist. Im Falle \(n=2\) weiß man, daß dieser Abbildungsgrad, den Verf. in Abänderung der üblichen Bezeichnungsweise die Curvatura integra der Hyperfläche nennt, auch unabhängig von der Möglichkeit der Einbettung in den \(R_3\) eine topologische Invariante der Fläche ist. Verf. untersucht, inwiefern auch im mehrdimensionalen Fall der Curvatura integra der Modelle einer Mannigfaltigkeit invariante Bedeutung zukommt. Das wichtigste Hilfsmittel der Arbeit bildet der von \textit{Poincaré} eingeführte Begriff des ''Index'' der Singularität eines stetigen Vektorfeldes, der hier als Index der Übereinstimmungspunkte zweier eindeutiger stetiger Abbildungen auftritt. Der Index einer isolierten Singularität eines in einem Gebiet des \((n+1)\)-dimensionalen Raumes definierten stetigen Vektorfeldes ist der Grad der durch die Vektoren vermittelten Abbildung einer die Singularität umschließenden Kugel auf die ``Richtungskugel'' des Raumes. Sind \(f_1\) und \(f_2\) zwei Abbildungen eines Gebietes \(G\) auf ein Gebiet \(\varGamma\), die in einem Punkt \(O\), aber sonst nirgends übereinstimmen, so wird jedem Punkt \(P\) von \(G\) der Vektor von \(f_1(P)\) nach \(f_2(P)\) zugeordnet; das so definierte Vektorfeld besitzt nur in \(O\) eine Singularität, deren Index als Index des Übereinstimmungspunktes \(O\) bezeichnet wird. Bei topologischen Abbildungen von \(G\) und \(\varGamma\) bleibt der Übereinstimmungsindex bis aufs Vorzeichen ungeändert. Sind \(f_1\) und \(f_2\) zwei Abbildungen einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit auf eine \(n\)-dimensionale Kugel, die nur in endlich vielen Punkten übereinstimmen, so heißt die Summe der Übereinstimmungsindizes die Übereinstimmungszahl \(I_{12}\) der beiden Abbildungen; es gilt \[ I_{12}=(-1)^n g_1 + g_2, \tag{1} \] wobei \(g_1\) und \(g_2\) die Abbildungsgrade von \(f_1\) bzw. \(f_2\) sind. Sind nun \(m\) und \(m'\) zwei in den \(R_{n+1}\) eingebettete Modelle derselben Mannigfaltigkeit \(\mu\), und läßt sich die durch \(\mu\) zwischen \(m\) und \(m'\) vermittelte Abbildung im Kleinen eineindeutig auf eine Umgebung von \(m\) und \(m'\) erweitern, so ergibt sich aus der Formel (1) \[ (\pm 1)^nC'=C\mp (-1)^nc_2', \tag{2} \] wobei \(C\) und \(C'\) die Curvatura integra von \(m\) bzw. \(m'\) bezeichnet und \(c_2'\) der Grad einer gewissen Abbildung ist. Wenn sich die Abbildung nicht nur auf eine Umgebung, sondern sogar auf ein ganzes \(m\) enthaltendes Element erweitern läßt, so kann man unter hinreichenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen \(c_2'= 0\) schließen; die Curvatura integra bleibt also bei einer solchen Abbildung bis auf das Vorzeichen, das durch das Vorzeichen der Funktionaldeterminante der Abbildung bestimmt wird, ungeändert. Ist \(m\) der Rand eines Elements, so gilt unabhängig von Differenzierbarkeitsvoraussetzungen \(C = \pm 1\). Wenn die Abbildung von \(m\) auf \(m'\) nur auf eine Umgebung von \(m\) erweitert werden kann, so kann man im Falle gerader Dimensionszahl \(n\) noch immer \(c_2' = 0\), \(C= \pm C'\) schließen, da die \(c_2'\) bestimmende Abbildung durch die Diametralabbildung ersetzt werden kann. Für ungerades \(n\) dagegen ist im allgemeinen \(c_2'\neq 0\); Verf. gibt hierfür ein Beispiel und zeigt, daß \(c_2'= 0\) für alle Abbildungen dieser Art nur dann gelten kann, wenn die Curvatura integra der Hyperfläche \(\pm 1\) ist. Für gerades \(n\) erweist sich \(C\) als die Hälfte der Indexsumme der Singularitäten eines tangentiellen Vektorfeldes an \(m\). (Für ungerades \(n\) ist diese Indexsumme, die übrigens, wie Verf. in einer anderen Arbeit (Math. Ann. 96 (1926), 225-250; F. d. M. 52) gezeigt hat, stets gleich der Eulerschen Charakteristik der Mannigfaltigkeit ist, gleich Null.) Daraus folgt der Satz: Für eine geschlossene zweiseitige Mannigfaltigkeit gerader Dimension ist die Curvatura integra ihrer Modelle eine topologische Invariante. Ein tangentielles Vektorfeld mit endlich vielen Singularitäten kann als eine Deformation der Hyperfläche in sich gedeutet werden, die nur endlich viele und zwar dauernd feste Fixpunkte besitzt. Da die Indexsumme eines solchen Vektorfeldes immer eine gerade Zahl ist, können Mannigfaltigkeiten, die solche Deformationen in sich mit ungerader Indexsumme der Fixpunkte zulassen, kein Modell im \(R_{n+1}\) besitzen. Die komplexen Punkte des \(2k\)-dimensionalen projektiven Raumes bilden ein Beispiel einer \(4k\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit, die kein Modell in \(R_{4k+1}\) besitzt. (V 2.)