Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. I. (Suite.) (Q1455727)

Die Entwicklungen dieser Arbeit beherrscht die Tendenz, dem der relativistischen Physik bis zur Gegenwart eigentümlichen ``Geometrisierungsbestreben'' von mathematischer Seite möglichst entgegenzukommen, zu mindestens eine weitgehende Übersicht über das verfügbare geometrische Konstruktionsmaterial zu geben. Dementsprechend war in den vier vorhergehenden Kapiteln (1923; F. d. M. 49, 542) dieser Abhandlung der Begriff einer (\(n\)-dimensionalen) Mannigfaltigkeit von vornherein auf einem allgemeineren nichtsymmetrischen Verschiebungsgesetz aufgebaut worden mit Krümmung und Torsion, in welche Fassung Weyls Begriff affin-zusammenhängender Mannigfaltigkeiten als Spezialfall verschwindender Torsion eingeht. Ebenso konnten Weyls metrisch zusammenhängender Raum (mit ``Strecken''- (``Homothetie''-) und ''Vektor''(``Rotations''-)krümmung) sowie auch der ``klassische'' Riemannsche Raum (von ``euklidischem'' Zusammenhang), für welchen neben der Torsion auch noch die Streckenkrümmung identisch verschwindet, als Spezialfälle der allgemeinen metrisch zusammenhängenden Mannigfaltigkeit mit Torsion, Homothetie und Riemannkrümmung aufgefaßt werden. Es kommt jetzt Verf. darauf an, die Wahlmöglichkeiten für den affinen Zusammenhang des raumzeitlichen Kontinuums unter der Voraussetzung einer Newtonschen bzw. Einsteinschen Gravitationsgesetzlichkeit abzugrenzen, nachdem er bereits zu Beginn der vorhergehenden Arbeit gezeigt hatte, daß die Phänomene der klassischen wie auch der relativistischen Mechanik im diskreten wie auch im kontinuierlichen Fall den affinen Zusammenhang in keiner Weise bestimmen. Ebenso gelingt es, die Newtonsche Gravitation auf unendlich viele Art und Weisen in eine ``Welt mit affinem Zusammenhang'' einzubauen. Diese ist dabei von vornherein von ``Galileischem Zusammenhang'' (\(\omega^0 = dt\), \(\omega_i^0 = 0\)); bringt man überdies den metrischen Charakter des Raumes zum Ausdruck (\(\omega_i^j + \omega_j^i = 0\); \(i,j= 1, 2, 3\)), so charakterisieren beide Eigenschaften den ``Newtonschen Zusammenhang''. (Zur Symbolik sei bemerkt: Verf. bezeichnet mit \(\omega_i\) die Pfaffschen Koeffizienten der affinen Grundvektoren, welche die entsprechenden Verschiebungsvektoren aufspannen, mit \(\omega^i_j\) die Pfaffschen Koeffizienten, welche die Änderung des \(j\)-ten Grundvektors \(\mathfrak{e}_j\) beschreiben; \(\varOmega_i\) bezeichnen die Translationskomponenten der Torsion (für einen geschlossenen Umlauf), \(c\) die Lichtgeschwindigkeit, \(f\) die Gravitationskonstante, \(\varrho\) die Dichte der Materie; die Indices ``\(0\)'' beziehen sich auf die zeitlichen Komponenten der vierdimensionalen Welt). Die Willkür in der Zuordnung affin-zusammenhängender Welten verschwindet, wenn man sich von vornherein auf torsionsfreie Mannigfaltigkeiten beschränkt: In der klassischen Theorie der Newtonschen Gravitation existiert genau ein affiner raumzeitlicher Zusammenhang mit verschwindender Torsion. Insbesondere kann jetzt unter allen raumzeitlichen Kontinuen mit Newtonschem Zusammenhang das der Newtonschen Gravitation charakterisiert werden. Verf. gewinnt dazu drei invariante Gleichungssysteme (I, II, III). Ihnen genügt jede Mannigfaltigkeit mit verschwindender Torsion und Newtonschem Zusammenhang. Umgekehrt erhält man aus ihnen alle Gesetze der Newtonschen Gravitation (Euklidischer Charakter eines jeden zeitlichen Querschnittes der Welt, Ableitung der Gravitation aus einem Potential, Gültigkeit der Poissonschen Gleichung). Für den Übergang zur Einsteinschen Gravitationstheorie formuliert Verf. zunächst den Begriff einer Mannigfaltigkeit von ``Einsteinschem Zusammenhang'': \(\omega_i^0 = c^2\omega_0^i\); \(\omega_j^i + \omega_i^j = 0\); \(i,j = 1, 2, 3\). Im Falle einer unbeschränkt großen Lichtgeschwindigkeit \(c\) geht der Einsteinsche Zusammenhang in den Newtonschen über. Unter allen mechanisch äquivalenten affinen Zusammenhängen einer Welt mit Einsteinschem Zusammenhang ist ein einziger ausgezeichnet, für welchen die skalare Form \(\left[\omega^i \varOmega_i\right]\) verschwindet. Dieser wird jetzt dem affinen Zusammenhang der Welt zugrunde gelegt. Die Torsion des Universums muß dann theoretisch noch nicht verschwinden. Von den Relationen (I, II, III) der Newtonschen Theorie wird nur eine Verallgemeinerung der Poissonschen Gleichung übernommen; die Relationen (I) müssen aufgegeben werden, die Relationen (II) sind von selbst erfüllt. Auch Einsteins Gravitationstheorie findet mit torsionsfreien Mannigfaltigkeiten ihr Auslangen, und an dieser Beschränkung halten auch die an dieser Stelle folgenden speziellen Untersuchungen der geometrischen Bedeutung von Wirkungs- bzw. Bewegungsgrößen und dynamischer Erhaltungssätze fest. Die Bedeutung der Torsion gewinnt, sobald man die elektromagnetischen Erscheinungen mit dem affinen Zusammenhang der Welt in Verbindung zu bringen sucht. Sieht man in dieser Hinsicht die Integralgesetze der Maxwellschen Theorie als deren Hauptstücke an, so besteht völlige Unabhängigkeit ihrer Gleichungen von jedweder Annahme über einen raumzeitlichen Zusammenhang. Dagegen erscheint der ausgezeichnete Einsteinsche Zusammenhang der allgemeinen Relativitätstheorie nur mit einer verschwindenden Torsion verträglich, wenn man in ihr an der Lorentzschen Elektronentheorie festhalten will. Dies hängt mit der Auffassung der ``quantité de mouvement-masse'' als einfacher (Vierer)vektor zusammen. Für eine Verallgemeinerung dieses Begriffes wäre ein Zusammenbestehen der elektromagnetischen Feldgleichungen mit einer nicht verschwindenden Torsion denkbar. Verf. beschließt diesen (ersten) Teil seiner Untersuchungen mit einigen Bemerkungen über die seinerzeit im Vordergrunde stehende Weylsche Theorie einer einheitlichen Feldphysik. Ihr liegt in der Terminologie des Verf. eine Welt mit metrischem Zusammenhang ohne Torsion zugrunde. Sie verzichtet auf die Existenz eines absoluten Längenmaßstabes, nicht aber auf ein absolutes elektrisches Ladungsmaß (wie alle derartigen Theorien, welche mit variablen Längenmaßen die Form der Maxwellschen Gleichung bewahren wollen). (VII 2.)