On the relation between the intrinsic equations of analytic functions under linear transformations and curves under inversions etc. (Q1455731)

Wenn \((xx) = 0\) die Gleichung der Absolute ist, so sind die Koordinaten einer Kurve auf derselben in der Form \[ x_1=\frac{1-st}{2\sqrt{s't'}},\quad x_2=\frac{i(1+st)}{2\sqrt{s't'}},\quad x_3=-\frac{s+t}{2\sqrt{s't'}},\quad x_2=\frac{i(s-t)}{2\sqrt{s't'}} \] darstellbar mit \(s'=\dfrac{ds}{dp}\) usw. Wählt man nun \(p\) derartig, daß \[ dp=\frac 12\sqrt{\{t, p\}}\,ds= \frac i2\sqrt{\{s, p\}}\,dt \] ist, was mit \[ \{t,p\}-\{s,p\}=1 \] äquivalent ist, so erhält man \(\left(\dfrac{dx}{dp},\dfrac{dx}{dp}\right)=1\), wobei \(\{t, s\}\) die Schwarzsehe Ableitung bedeutet. Dann kann \[ \{t,p\}+\{s,p\}=\{x''x''\}_p=\Phi(p) \] als natürliche Gleichung der Kurve \(x = x (p)\) in der Bewegungsgeometrie betrachtet werden. \(\{t\, s\} + \{s\, p\}\) und \(dp^{\,2}\) ändern ihr Vorzeichen bei Symmetrien. Diese Tatsache wird mit der \textit{Wilczynskis}chen Arbeit (1922; F. d. M. 48. 393) in Verbindung gebracht.