Über die Geometrie von Laguerre. V: Kugelsysteme Ribaucours. (Q1455735)

Die Arbeit ist den Laguerre-invarianten Eigenschaften der sogenannten \(R\)-Kugel-systeme gewidmet, auf deren Hüllflächen sich die Krümmungslinien entsprechen. Das Hauptergebnis sind die beiden Sätze: I. Rollt im \(R_4\) mit dem Bogenelement \(dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-dx_4^2\) eine Ebene mit dem Bogenelement \(2du\,\, dv\) auf einer zu ihr längentreuen Fläche, so beschreibt jeder Punkt der Ebene bei diesem (holonomen) Bewegungsvorgang von zwei Freiheitsgraden eine Fläche \(x_k(u,v)\). Deutet man die \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) als Mittelpunktskoordinaten und \(x_4\) als Radius einer Kugel im euklidischen \(R_3\), so entspricht dieser Fläche ein \(R\)-System von Kugeln im \(R_3\). Umgekehrt ist --- von gewissen Ausnahmefällen abgesehen --- jedes \(R\)-System auf eine einzige solche Art erzeugbar. II. Man kann zu einem Kugelsystem auf folgende Weise ein Strahlensystem bestimmen: Eine Kugel des Systems berührt die beiden Hüllflächen in zwei Punkten. Zu den Tangentenebenen der Hüllflächen in diesen beiden Punkten sucht man die beiden sphärischen Bilder auf der Einheitskugel \(K\) von Gauß. Die beiden sphärischen Bildpunkte verbindet man durch eine Gerade \(g\). Konstruiert man so zu allen Kugeln des Systems die zugehörigen Geraden \(g\), so erhält man ein Strahlensystem, für welches nun der Satz gilt: Es ist dann und nur dann ein Normalensystem im Sinne einer nichteuklidischen Maßbestimmung mit der Maßfläche \(K\), wenn das Kugelsystem ein \(R\)-System war.