Über den Vektorenbereich eines konvexen ebenen Bereiches. (Q1455766)

Verf. beschäftigt sich mit dem von W. \textit{Blaschke} als Aufgabe gestellten Satz (Arch. d. Math. u. Phys. 28 (1919), 74): \(x(t)\), \(y (t)\) seien stetig und von beschränkter Schwankung und definieren eine rektifizierbare Jordankurve (\(a\leqq t\leqq b\)). \[ F=\Big|\tfrac 12\int\limits_a^b\{x(t)\,dy(t)-y(t)\,dx(t)\}\Big|, \] \[ J=\int\limits_a^b\int\limits_a^b|\,dx(s)\,dy(t)-dy(s)\,dx(t)|. \] Dann ist (1) \(J\geqq 8F\) und nur dann \(J=8F\), wenn die Jordankurve eine Eilinie mit Mittelpunkt ist; (2) \(J \geqq 12F\) für alle Eilinien und nur dann \(J = 12F\), wenn die Eilinie ein Dreieck ist. Der erste Teil wird auf die Brunn-Minkowskische Ungleichung zurückgeführt für den Fall konvexer Vergleichsfiguren; der zweite Teil wird zunächst für Polygone und dann durch Approximationen allgemein bewiesen. Eine Anwendung des zweiten Teils liefert den Satz: Besitzt die im Einheitskreis reguläre Funktion \(\sum A_nx^n\) dort einen positiven Realteil, so ist \[ \mathfrak R(A_0)>0\quad\text{und}\quad 2(\mathfrak R(A_0)+|A_1|\,)^2-\sum_2^\infty\frac{\eta_n|A_n|^2}{n^2-1}\geqq 0; \] dabei ist \(\eta_n=1\) bzw. 3, wenn \(n\) gerade bzw. ungerade ist. (IV 4, IV 13.)