Über die konvex-geschlossenen Mannigfaltigkeiten im \(n\) dimensionalen Raume. (Q1455777)

Bezeichnet man das Volumen der Parallellhyperfläche der gegebenen konvex geschlossenen Mannigfaltigkeit mit dem Abstand \(h\) durch \(V (h)\), dann gilt \[ \begin{gathered} V(h)=V+V_1h+V_2h^2+\cdots+V_{n-1}h^{n-1}+V_nh^n,\\ V_n=\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma\bigg(1+\dfrac n2\bigg)}, \end{gathered} \] wo \(V\) das Volumen der gegebenen konvex geschlossenen Mannigfaltigkeit bedeutet. Verf. nennt \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\), \dots, \(V_{n-1}\) Mittelvolumina nach Minkowski und beweist den erweiterten Cauchyschen Satz in bezug auf \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\), \dots, \(V_{n-1}\) und die Tatsache, daß \(V\), \(V_1\), \(V_2\), \dots, \(V_{n-2}\) einer nicht zentralen konvex geschlossenen Mannigfaltigkeit durch zentrale Symmetrisierung vergrößert werden, während \(V_{n-1}\) ungeändert bleibt. Dann gelangt Verf. zum folgenden Resultat: Wir bezeichnen die konvex geschlossene Mannigfaltigkeit, welche durch die Kugel \[ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=\frac{D^2}4 \] und die Hyperebenen \[ x_n=\frac\Delta 2,\quad x_n=-\frac\Delta 2 \] begrenzt wird, mit \(E\). Wenn der Durchmesser \(D\) und die Dicke \(\Delta\) einer konvex geschlossenen Mannigfaltigkeit gegeben sind, so werden \(V\), \(V_1\), \(V_2\), \dots, \(V_{n-1}\) dann und nur dann maximal, wenn die Mannigfaltigkeit von der Form \(E\) ist. Man bezeichne die konvex geschlossene Mannigfaltigkeit, welche durch \[ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=\frac{\Delta^2}4 \] und durch die beiden umhüllenden Kegel aus den Mittelpunkten \(\big(0,0,\dots,0,\dfrac D2\big)\) und \(\big(0,0,\dots,0,-\dfrac D2\big)\) begrenzt wird, mit \(E'\). Wenn der Durchmesser \(D\) und die Dicke \(\Delta\) der konvex geschlossenen Mannigfaltigkeit gegeben sind, so wird \(V_{n-1}\) dann und nur dann maximal, wenn die Mannigfaltigkeit von solcher Art ist, daß sie durch Zentralsymmetrisierung in die Mannigfaltigkeit von der Form \(E\) übergeht; \(V_{n-1}\) wird dann und nur dann minimal, wenn die Mannigfaltigkeit von solcher Art ist, daß sie durch Zentralsymmetrisierung in die Mannigfaltigkeit von der Form \(E'\) übergeht.