Condizioni atte ad assicurare l'indipendenza degli argomenti nella espressione hamiltoniana dell' azione variata. (Q1455909)

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\right)\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\qquad (k=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] sei ein Lagrangesches System, \(L\) sei von \(t\) unabhängig. Es sei \[ A=\int_{t_0}^t dt\sum_{1}^n \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\dot{q}_k \] das Wirkungsintegral, \(E\) die Gesamtenergie, \(p_k=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\). Notwendig und hinreichend, damit das System (1) sich auf die Hamiltonsche Gestalt \[ \frac{\partial A}{\partial q_k}=p_k,\quad \frac{\partial A}{\partial q_k^0}=-p_k^0,\quad \frac{\partial A}{\partial E}=t-t_0 \] bringen läßt, sind folgende drei Bedingungen: a) die Hessesche Determinante \(\Delta=\left\| \dfrac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}_h\partial\dot{q}_k}\right\|\) verschwindet nicht. b) \(L (q|\dot{q})\) läßt sich nicht ais Summe zweier in den \(\dot{q}_k\) vom Grade Null und Eins homogenen Funktionen schreiben. \[ \displaylines{\rlap{c)}\hfill \sum_{h,k=1}^n=\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}_h\partial\dot{q}_k} \dot{q}_h\dot{q}_k\neq 0.\hfill} \] Die genannten Bedingungen sind im dynamischen Fall \(L = L_2+L_1+L_0\) (\(L_i\) homogen vom Grad \(i\) und \(L_2\) positiv definit) sicherlich erfüllt.